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Über eine neue hinreichende Bedingung 
für die Darstellbarkeit einer Function durch die 
Fourier’sche Reihe. 
Von Dr. O0. HöLper 
in Göttingen. 
(Vorgelegt von Hrn. Weiersrrass am 23. April [s. oben S. 379].) 
s 
Kine gütigen Mittheilung des Hrn. P. nu Boıs-Reymoxo verdanke ich 
die Kenntniss des nachstehenden, vor Kurzem von Hrn. WEIERSTRASS 
aufgestellten, aber noch nicht veröffentlichten Satzes, den ich in dieser 
Abhandlung zu beweisen und zugleich zu erweitern beabsichtige.' 
»Es sei w eine reelle Veränderliche und f(x) eine in dem Intervalle 
a<sısb 
eindeutig definirte und stetige Funetion derselben. Man denke sich 
auf der diese Function in der gebräuchlichen Weise darstellenden Curve 
irgend eine Reihe von Punkten 
7 Te BA 
deren Abseissen beziehlich mit 
(RE 
bezeichnet werden mögen, so angenommen, «dass die Differenzen 
Ar 0 — au — mr. A,r — A de 
sämmtlich positive Grössen sind. Versteht man dann unter s, (für 
p=1.2,...r) den absoluten Inhalt des Flächensegments, welches 
von dem zwischen den Punkten A,, A,,, liegenden "Theile der Curve 
und der zugehörigen Sehne begrenzt wird — wobei zu bemerken ist, 
' Die Überlegungen, welche mich zu dem in Rede stehenden Satze geführt haben, 
waren zu der Zeit, wo ich ihn Hrn. P. vu Boıs-Reynonn mittheilte, von mir noch 
nieht in die Form eines strengen Beweises gebracht worden. Die vorliegende Ab- 
handlung des Hrn. HörLper, die einen solchen Beweis und zugleich eine Verallge- 
meinerung des Satzes enthält, ist bereits vor zwei ‚Jahren geschrieben, und haben 
nur zufällige Umstände ihre Veröffentlichung bis jetzt verzögert. Sie ist, wie ich aus- 
drücklich bemerke, eine durchaus selbständige Arbeit. WEIERSTRASS. 
BYE 
