420 Gesammtsitzung vom 7, Mai. — Mittheilung vom 23. April. 
‚dass dieses Segment aus einem oder auch aus mehreren, möglicher- 
weise sogar aus unendlich vielen Stücken bestehen kann, von denen 
aber ein jedes, auf welcher Seite der Sehne A,A,,, es auch liegen 
möge, bei der Bestimmung von s, als positive Grösse in Rechnung 
gebracht werden muss — so ist s, das Produet aus A, und einer Grösse, 
die gleichzeitig mit A, unendlich klein wird; es kann aber die Funetion 
(x) so beschaffen sein, dass auch die Summe 
Pr — iu ne 
> 
u / 
»2=1 A, 
sich der Grenze Null nähert, wenn man, die Endpunkte A,, A,,, fest- 
haltend, die Grössen A, sämmtlich unendlich klein werden lässt. 
Ist dies der Fall, so wird f(x) für jeden zwischen a und b liegenden 
Werth von x durch die Fourter’sche Reihe 
-— 
alk / 
‚je dx’ + en Be ) cos; — (a — ade’ 
—a 
dargestellt. « 
Bei diesem Satze, der hier so wiedergegeben ist, wie ihn Hr. 
WEIERSTRASS ausgesprochen hat, ist die Voraussetzung, dass f(x) eine 
stetige Function sei, eine wesentliche Bedingung. Der analytische 
iS 
Ausdruck der Summe Di hat aber für jede Punktfolge A,,A,,... 
p 2 
eine bestimmte Bedeutung, wenn nur die Function f(x) integrirbar 
vorausgesetzt wird, indem nach der obigen Definition 
pt 
— (2), (@,) Zieht (Ya,4) -fa,)) | dv 
ist. Ich habe daher untersucht, mit welchen Modificationen sich der 
in Rede stehende Satz auf nicht durchweg stetige, aber im RıEmans- 
schen Sinne integrirbare Funetionen ausdehnen lasse, und bin dabei 
zu folgenden Resultaten gelangt. 
Wenn für eine Function f(x) von der angegebenen Beschaffenheit 
SM k 
die Grösse > r unter der Bedingung, dass der ersten und der letzten 
p P 
der Grössen a,.a,,... feste Werthe (a’, b’) beigelegt werden, stets 
unter einer angebbaren Grenze bleibt, so besitzt sie eine endliche Un- 
bestimmtheitsgrenze für unendlich kleine A,; wird diese beim Zusammen- 
ziehen des Intervalls @’...b’ auf einen bestimmten, in ihm enthaltenen 
Punkt x, unendlich klein, so convergirt die Reihe 
