Hörver: Darstellbarkeit einer Function durch die Fovrıer’sche Reihe. 421 
b v= 00 b 
Ri? Br : ine 
7 RR an a le ve’) da 
für © = x,, ihre Summe ist gleich f(x,) und x, ist ein Stetigkeitspunkt 
der Funetion. Umgekehrt gilt auch, dass die genannte Unbestimmt- 
heitsgrenze verschwindet beim Zusammenziehen des Intervalls «a... b’ 
auf einen Stetigkeitspunkt der Function. 
5, 
—— stets 
p 
unter einer angebbaren Grenze bleibe, wie auch die Punkte a,,@,,... 
in dem Intervall @... b angenommen werden, so gelten folgende Sätze: 
ı. Die Summe der ersten Glieder der vorstehenden Reihe 
schwankt für jeden einzelnen Werth von x zwischen end- 
lichen Grenzen, und es existirt jedesmal nur eine endliche 
Anzahl m, von Punkten, für welche die Unbestimmtheits- 
grenzen der Reihe von einander und von f(x) um mehr als 
eine beliebig vorgeschriebene Grösse d verschieden sind. 
Wenn nun ferner vorausgesetzt wird, dass die Grösse 
pP 
2. Die Reihe eonvergirt für jeden einzelnen Werth von x, für den 
der lim - (fie +) +fle — «)) einen bestimmten, endlichen 
a«a=o 
Werth hat, und ihre Summe ist gleich diesem Grenzwerthe. 
Zusatz: Da die Funetion f(x) integrirbar ist, giebt es in jedem, 
noch so kleinen Theile der Strecke a...b Stellen, in denen 
Six) stetig ist, und es muss in diesen Stellen nach dem 
zweiten Satz die Reihe gegen den Werth f(x) convergiren. 
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Es bedeute ® (x) eine für 
oSsSsr 
eindeutig gegebene und im Rıremann’schen Sinne integrirbare Function, 
die also auch durchweg unter einer festen Grenze bleibt. Die Grösse 
b 
A 7 / 
| mod Pla) — Pl) +, (Hd) da 
a 
werde mit Hf(a,b) bezeichnet. Nun wähle man eine Folge von 
Werthen @,.a,...a,_, der Zahl wie der Lage nach in willkürlicher 
Weise, nur so dass 
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ist, und bilde 
