Hörver: Darstellbarkeit einer Function durch die Fovrıer’sche Reihe. 433 
$- 7- 
Wir wenden jetzt die Betrachtungsweise des $. ı auf die Funetion 
fiz) selbst an statt auf die Function f(x +.) + fl@® — a) von a. Es 
werde mit E(a, 5) diejenige Grösse bezeichnet, welche in Beziehung 
auf die Function f und die Strecke @...b genau dieselbe Bedeutung 
hat wie in $. ı die Grösse E(rv) in Beziehung auf die Function $ und 
die Strecke o...r. Damit (a,b) überhaupt existire, werde voraus- 
* 5 & = ns S 
gesetzt, dass für eine bestimmte Strecke r ...s die Grössen > 
pP 
sämmtlich unter einer endlichen Grenze liegen. Dabei ist s, durch 
die Formel 
Ati 
( —a s 
mod \ fe fa) f@)+ Fre Er (/\a,) — la.))| da 
a, 
definirt (s. 0.). In dieser Strecke r...s mögen alle anderen Strecken, 
die im Folgenden vorkommen, enthalten sein. Nun sieht man, dass 
I. E(a, b) > Ela’, b’), wenn a<a@<b'<b, 
ferner # pn 
I. E(a,b)> Ela,a) + Ela,,a)+...+ E(a,_.:d) 
wenn 
VE a a): 
Die Relation Il. gilt mit dem Gleichheitszeichen, wenn f(x) an den 
Stellen ar.m...... stetig ist; im andern Fall kann auch das 
Zeichen > auftreten. 
Aus I. folgt, dass 
lim E(ae—e:,2+r)=xX (a) 
e=oOr o 
für ein bestimmtes x zwischen r und s vollkommen bestimmt ist. Die 
n—L 
Relation II. giebt zu erkennen, dass in der Strecke r...s nicht mehr 
als » Punkte vorhanden sein können, R welchen 
Eir,s 
2 
%l(a)Z 
ist. Wenn also eine positive Grösse d gegeben ist, so findet man nur 
eine endliche Zahl von Punkten x, in welehen 4, (x) > d ist. Für 
einen Punkt x, wo 4 (2) = 0 ist, gilt 
Fa) =fle+o)=/@—-0), 
d. h. f ist stetig, und umgekehrt (vergl. $. 2). Man sieht leicht, dass 
die Funetion $ (&) = f(a +.) + fe — a), wo x fest gedacht ist, auch 
die Eigenschaft besitzt, dass >. endlich ist. Für & ist also im 
vr 
Nullpunkt die Grösse o definirt (s. $. ı 
°—=%,(x) ist. Nach dem Resultat von $.5 sind aber in einem be- 
— 
‚ und es ergiebt sich, dass 
Sitzungsberichte 1885. 38 
