Weierstrass: Zur Theorie der elliptischen Functionen. 445 



Null ist 



d' fd'(5\ d'd'log(5 



duyQ duj 



3 loffG 



-3r "'^ 



du^y (5 duj du 



d__nd'6\_dpnog6 / siogG VX d,p diog6 



8i<y5 dirj dii\ dir \ du j j du "^ dit 



d"- ( I 9^0\ 3> c)rf)3loff5 ^ 3d) BS , 



^T-J 7=^2-2 =2«/.- — ^ — 2 7^—7;; = — 4(/>- = 2 tt^ ^ + T<72; 



du^\^ du^) ^ dir dti du du du 



und es lässt sich also die Gleichung (5) so sclii'eiben: 

 3= ( d'6 u 3S , f 1 d'6 . A ,) 

 3^p-^ + "^3^^'+i-S3ü?+^^^^'7i=° 

 In dieser Gleichung sind nun aUe Glieder des Ausdrucks , auf den 

 3- 

 sicli das Zeichen tt — bezieht, gerade Functionen von tr, folglich luuss 

 d'ir 



der Ausdruck einen von u unabhängigen Werth haben. Bezeichnet 



man diesen mit C. so wird 



3S , /3^0 , \^ _ 

 2a 5 + 2 w 7=r- ", + ^s— ; + T^g.u- 1 ö, = CS. 

 öu \du- J ' 



Nimmt man jetzt 



(5 =<5{u\w, w'), 

 so hat man 



6 = u + ?(5vp(w), 

 und es ergiebt sich, wenn man auf beiden Seiten der vorstehenden 

 Gleichung den Coefficienteu von u bestimmt , C^d,. 

 Nimmt man aber S ^ S^^ , so ist 



6^ = l—^e^u'-ht(*'^y_{u), 

 und man erhält, wenn in der Gleichung u = o setzt, C= — e-^. So 

 ergeben sich die folgenden Gleiclimigen : 



(A.) 2 c?'S + 2?< 7^ S f?, + ( 7^^ + p9,m'S I d = o 



du \dir j ' 



3S^ 3=S^ 



(B.) 2rf'S^ + 2?< TT— rf, -1- -YY-^{Tig.u--\-c-^'^x d = o, (A= 1,2,3). 



Wir haben hier S, S^ als Functionen von u, w, w' betrachtet, so 

 dass f/,, d^ homogen lineare Functionen von f^w, rfw' sind, welche 

 folgendermaassen bestimmt werden kömien. 



Man setze 



^=>K,„, ^=4.™«,). ^=^P»W. 



du ocü ow' 



