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Weierstrass: Zur Theorie der elliptischen Functionen. 449 



von einander unabhängig sind — was aus den Gleichungen (3) sich 

 ergiebt, weil {g\ — "2.^9^ nicht gleich Null ist — die beiden nach- 

 stehenden partiellen Differentialgieichimgen : 



8"S 3S ., , 3S , 



3S 3S ^ 3S ^ 



Setzt man 



= V A,„,„ .g^™^^^ w% (m, n, r = o, I . . . 00 ) 



so lelivt die zweite Gleichung, dass in jedem Gliede der Reihe, dessen 

 Coefficient nicht gleich Null ist, 



X — 4m — 6n — 1=0 

 sein muss. Man kann daher setzen 



,. .4111 + 6n + I 



(C.) SM = 2°-fa.yW- (,„, + 6.. + .)! 



und erhält zur Bestimmung der Coefficienten «,„ „ aus (A.) die Recm'- 

 sionsformel 

 (D.) r/,„„=3{m-t-i)r/„,+,.„_,+Y("+i)^',n-2,„-n— y(2m+3n— i)(4m+6n— i)ff,„_,., 



Bei der Anwendung dieser Foi-mel ist jeder Coefficient, in welchem 

 einer der Indices einen negativen Werth erhält, gleich Null zu setzen. 

 Der Coefficient «q,, ist gleich i. Betrachtet man als zu einer Gruppe 

 gehörig alle «,„„, für welche die Summe 4m + 6n denselben Werth 

 hat, so lehrt die vorstehende Formel, dass jede Zahl o„„ einer be- 

 stimmten Gruppe aus zwei Zahlen der unmittelbar vorhergenden und 

 einer Zalil der zweitvorhergehenden Gruppe berechnet werden kann. 



Die Function S^ hat nach dem Vorhergehenden die Form 



wo (S^^^ eine Potenzreihe von u, p^, e^ ist. Dann hat man 



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 (5d\=^ e ^ -{et Sy^ — ^irS-^de-^ 







