Wkierstdass: Zur Thoorii' der elli|itisclien Fiiiictiimen. 451 



Man kami also setzen: 



. - y2m+|iH-l 



tl '"■"V^ >.' x' (2111 + 411+1)! ^' ^ -'^- 



und erhält aus (J.) zur Bestimmung der Coefficienten h,„„ die Recur- 

 sionsformel : 



(N.) Ä,„,„=4(m+ 1 )/>,„+,,„_, +(4111+ i)A,„_,.„—(m+2U—i)(2in +411— I )/',„.„_,. 

 Hier ist A^ o = i • un d 6,„+ , _ , =: o , A_ , „ ^ o , A,,,, _ , = O . 

 Aus den Gleichungen (J. N.) ist unmittelbar ersichtlich, dass die 

 Coefficienten b„^„ und r„, „ sämmtlich ganze Zahlen sind. Aber auch 

 die a,„„ sind aUe ganze Zalilen. Denn aus der (xleichung (M.) ergiebt 

 sich, dass. wenn man 



(5iu) = %C^-^ 



(21-+I) 



9^ fx 

 setzt, Q flir jeden Werth von v eine ganze Functif)n von — und — 



2 2 



mit ganzzaliligen Coefficienten ist. Schafft man aus Q alle Potenzen 



von e^, deren Exponent ;>2 ist, mittels der Gleichung 



fort, so müssen in dem so umgeformten Ausdruck von Q, da der- 

 selbe fiir A^ I, 2, 3 denselben Werth hat. die mit ^^ und e^ multi- 

 plicirten Glieder fortfall(Mi: er reducirt sich also auf eine ganze Function 

 von g^, g.^, deren Coefficienten Brüche sind, die zu Nennern Potenzen 

 von 2 haben. Die (7,„ „ könnten also, wenn sie Brüche wären, eben- 

 falls nur Potenzen von 2 zu Nennern hal)en; dies ist aber nach der 

 Recursionsforniel (D.) nicht der Fall. 



Die Werthe der Zahlen (7,„„, für die 4111 + 611+ l ^35 ist, finden 

 sich in den oben erwähnten »Formeln und Sätzen zum Gebrauche der 

 elliptischen Functionen« S. 7; die Werthe der Zahlen i,„„, r,,, „ bis zu 

 einer gewissen Grenze hin werden si^äter gegeben werden. 



