Weingakten : Vcrschielibarkeit geodiit. Dreiecke in knimiaeu Flächen. 455 



kleine Dreieck, ist ein endliches in imendlich kleine Dreiecke zerlegtes 

 Fläclienstück der Fläche in ihr selbst stetig verschieblich, und daher 

 diese Fläche in sich oliuo Delmung ihrer Elemente verschiebbar. 

 Alsdann gehört diese Fläche in die Classe der anf eine Rotationstläche 

 von nicht constanteni Krüninningsmaass abwickelbaren Oberflächen. 



Der Beweis dieser Behauptung läs.st sich leicht mit Hülfe einer 

 Gattung von Functionen fuhren, von denen ich in einer Abhandlung 

 über die Reduction der Winkel geodätischer Dreiecke (Astronomische 

 Nachrichten No. 1733 Januar 1869) Gebrauch gemacht habe, welche 

 die Eigenschaft haben. Werthe darzustellen, die in jedem Punkte einer 

 Fläche bei der Al)wickelung derselben unverändert bleiben, imd die 

 ich dieser Eigenschaft wegen auf Vorsehlag des Ilrn. Wkierstrass mit 

 dem Namen Biegungsinvarinntcn ' liezeichnet habe. 



Ist 



E(J]f 4- 2 Filpdq -\- (i (lif 

 das Quadrat des Linienelements einer Fläche, und Ix^zeichnet k das 

 Krümnnmgsmaass derselben im Punkte (]>. (/) so sind die von Hm. 

 Beltrami mit dem Namen Difterentialparameter erster mid zweiter 

 Ordnmig bezeichneten Formen 



dkY „/clÄ-\ /cU-\ ^ fdk' 



n¥J-^n¥l¥^^% 



h,= 



]/EG — F' 



EG — F' 



dk dk dk dk 



(jr -r. T-T^ — E -7^ -t-F{ — 



r. vp dq ^ öq dp 



yEG — F' ]/EG — F' 



dp dq 



unter Anderen. Biegungsinvarianten dieser Fläche. 



Wenn eine Fläche in sich selbst ohne Dehnung der kleinsten 

 Theile verschiel )bar ist, so muss jeder bewegte Punkt der in Ver- 

 schiebmig l)egriffenen Fläche auf dem festgedaehten Urbild dersel))en 

 eine Curve beschreiben, für deren Punkte jede Biegungsinvariante 

 der Fläche den nämlichen Werth behält. Denn für den bewegten 

 Punkt bleibt bei der Abwickelung der in ihm vorhandene Werth 

 einer Biegungsinvariante bestehen, mid kann dieser Punkt mu- mit 

 Punkten des Urbildes sich decken, in denen der nämliche Werth 

 der Biegmigsinvairiante besteht. 



Für alle in sich selbst verscliiel)baren Flächen sind daher sämmt- 



liche Biegungsinvarianten mit einer von ihnen gleichzeitig constant, 



und daher nur Functionen der Biegungsinvariante k, vorausgesetzt dass 



k nicht selbst eine Constante ist. 



' Wissenscliaftliclie Begründung der Rechnniigsniethuden des Ceiilrnlbureaus der 

 Enrupiiisclien Gradiuessung. 18^0. 0. Reimer. 



