456 Sitzung der physikalisch -mathematischen Clause vom 27. April. 



Fasst man die Punkte einer solchen Fläche als die Dui-chsclmitte 

 zweier Curvenschaaren auf, deren eme aus den Linien gleichen Krüni- 

 mungsmaasses und deren andere aus den orthogonalen Trajectorien 

 (lieser Linien besteht, so hat das Quadrat des Linienelementes der 

 Fläche die Form Edk- + Gdq- und die Biegungsinvarianten h und /<, 

 werden 



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Veg 



welche selbst, ebenso wie ihr Quotient 



h dk 



nm- Functionen der Veränderlichen k sein dürfen. Die letztere Gleichung 

 lehrt, dass YG das Product einer Function von k in eine Function der 

 zweiten Variablen q sein muss. und dass daher das Quadi-at des Linien- 

 elements eüier in sich selbst verschiebbaren Fläche in die Form 

 d¥ 



-Y + <piky--4^{qy-dq' 



gebracht werden kann. Durch die Substitution von rr= J']i~^ dk 

 t :=: f-ip (q) dq geht diese Form in diejenige des Quadi-ats des Linien- 

 elements einer auf eine RotationsÜäche von nicht constantem Krümmungs- 

 maass ab\vickelbaren Oberfläche über, nämlich in 

 dr'- + F{r) df-. 

 Die von Ed. Bour bemerkte Abwiekelbarkeit aller Scliraul)cn- 

 flächen auf Rotationsflächen stellt einen Ijesonderen Fall des el)en 

 bewiesenen Satzes dar. 



Man kann mminehr, im Anschluss an die Hrn. C'hristoffel 

 verdankten Entwickelungen, die nachstehenden Theoreme aussprechen, 

 a. Wenn zwischen den Seiten und Winkehi der aus küi-zesten 

 Linien gebildeten Dreiecke einer Oberfläche eme einzige 

 von den Lagen der Eckpunkte unabhängige Gleichmig besteht, 

 so ist diese Oberfläche eine auf eine Rotationsfläche von niclit 

 constanter Krünunung abwickelbare. 

 ]■). Weini zwischen den Seiten \md Winkebi der aus kürzesten 

 Linien gebildeten Dreiecke einer 01>erfläche drei von den 

 Lagen der Eckpunkte unabhängige Gleichungen bestehen, 

 so ist diese Fläche eine Fläche constanter Krümmimg. 

 Der Fall des aUeihigen Bestehens zweier Gleichmigen zwischen 

 den Seiten imd Winkehi der geodätischen Dreiecke tritt für keine 

 Fläche ein. 



