458 Sitzung der pliys. -malh. Cbisse v. 27. April. — Mitlliciluiig \'. IB. ,\pril. 



Beliufe mü.ssen mdes.s zuvor einige mit der Numeriruiig der Insertionen 

 zusanunenliängende Fragen erledigt werden. 



I. Numerirungsprincipien. 



Es sei in Fig. i ein spiraliges Stellungsverhältniss dargestellt, in 

 welchem sich zwei Zeilensysteme, deren Coordinationszahlen die rela- 

 tiven Prhnzahlen a und h seien, unter einem Winkel (p kreuzen. Die 

 Insertion o ist durch die Punkte A und B bezeichnet. Ist a ^b, und 

 steigen die a"' Zeilen von links nacli reclits aufwärts, so giebt es also 

 in dieser Richtmig weniger Zeilen als in der entgegengesetzten, in 

 welcher die b" Zeilen sich erlieljen. Steigt man in den beiden diu'cli 

 die Insertion o gehenden Zeilen aufwärts Ins zum ersten gemeinsamen 

 Kreuzungsjiunkte C, so muss in demselben diejenige Insertion liegen, 

 welche bei einer fortlaufenden Numerirung der auf der Grundspirale 

 auf einander folgenden Insertionen die Nmnmer a • b erhält. ' Im Punkte 

 F liege die Lisertion i . Die beiden Paare gegenläufiger Pai-astichen, 

 Avelche dm-cli die Insertionen o und i gehen, schneiden sich oberhalb 

 zum ersten Mal in G und H. Es sei x die Zahl der Schritte, die 

 man beim Aufsteigen von A bis G zu machen hat, y die Schrittzahl 

 zwischen F und G, ^ die entsprechende zwischen B und H, und vj 

 diejenige zwischen F und H: so werden die Nunmiern der in den 

 Punkten G und i? gelegenen Insertionen durch die Crleichungen liestimint: 



X • (1^1/ • b -\- 1 ( I ) 



^. b = Yi'a + i (2) 



Die Wurzeln dieser Gleichungen werden nach der Theorie der 

 diophantischen Gleichungen anf folgende Weise l)estinimt: 



Man verwandle den Bruch -r- in einen Kettenlu'uch luid bestimme 

 /> 



den vorletzten Näherungswertli 7,-.'" 



P 



' Stellt das gegebene Stellungsverhältniss gedrehte ^-blättrige Wirtel dnr. ent- 

 halten also die Coordinationszahlen a und b den grössten gemeinsamen Facior ij. so 

 giebt es bekanntlich ij solche Längssegniente der Cylinderfläche , in deren jeder ein 

 und dasselbe .s])iralige Stellungsverhältniss besteht. Die für diese spiraligen Anord- 



a /> 



nungen geltenden Ordinuiiiszalilen der Pai-astichen sind — und — : der I'iuikt C crliält 



q q 



denniacli die Nummer — • — (in Fig. 2 z. B — • -- = 6 1. Setzt nuui — ^ o' imd 



q q \ ' ■^ ^ ' q 



h 



-■=.li'. so gelten in Jedem Läng.ssegmente die nämlichen tJeselze liii- a' und //. wie 



bei cinei' einf'aclieii sjiiraligen Anordnung für a niiil A. bedürfen also ki'iner beson- 

 dei'Cn Uiitersiieliung. 



