508 Gesaninitsitzung vom 4. Mai. — Mittheilung venu 27. A]iiil. 



au.s der Gleichung (i) ziehen las.sen, gelie ich hier nicht ein. Da- 

 gegen will ich noch eine funtionen- theoretische Frage lierührcn, welche 

 sich an die Gleichung S = o knüpft. 



Man kann, ohne von der Function S (?/) irgend etwas zu wi.ssen, 

 dii-ect nachweisen, dass es eine vier Avillkürliche Constanten enthaltende 

 (transcendente) ganze Function der Veränderlichen ?< gieht, welche, für 

 ö (ti) in die Gleich mig ( i ) eingesetzt , dieselbe befriedigt. Man zeigt 

 zu dem Ende zunächst, dass der Gleichung formell genügt werden 

 kann, wenn man für 5 («) eine gewöhnliche Potenzreihe annimmt; die- 

 selbe entluilt nur ungerade Potenzen von u, und die Coefticienten 

 derselben lassen sich als ganze rationale Functionen der vier ersten, 

 die mibestimmt bleiben, ausdrücken. Mit Hülfe der Gleichung (i) 

 selbst lässt sicli dann femer nachweisen, dass diese Potenzreihe bei 

 beliebigen Werthen der Veränderhchen u und der genannten wiUküi-- 

 lichen Constanten convergent ist, also eine Function von der an- 

 gege])enen Beschaffenheit darstellt. Setzt man sodami 



d-\og6{ii) 



'^<"^ = drF- 



so ergiebt sich, elienfalls aus der Gleichung (i) 



, , = A(b^^() + Bf- (II) + C(p{ii) + 1), 

 du j 



wo A^ B^ (7, D Constanten sind; wodurch der Zuhammcnhang der 

 auf die angegebene Weise definirten Function [u) mit der Theorie 

 der elliptischen Functionen festgestellt ist. Hiernach liegt es nun 

 nahe, die Frage aufzuwerfen, ob sich nicht in ähnlicher Weise die 

 Existenz einer (transcendenten) ganzen Function von p Veränderlichen 

 u, u', . . .?/f^'\ welche, &a'<3{u, n',. . . ?A~'^) gesetzt, die Gleichung »S^O 

 befriedigt, direct beweisen lasse. Es wird auch in diesem Falle 

 ausreichen, zunächst -zu zeigen, dass es eine gewöhnhche Potenzreihe 

 von 11, u',. . .«*P~'' giebt, Avelche, für S (n, n',. . .ir^^') gesetzt, der in 

 Rede stehenden Gleichung formell genügt. Die Ausdrücke der Co- 

 efticienten dieser Reihe durch eine Anzahl von einander unabhängiger 

 Grössen werden sich freilich viel complicirter gestalten, wie für die 

 Function 6 (?/); sie sind nothwendig algel)raische Functionen jener 

 Grössen, wie schon dai-aus erhellt, dass es, wenn p>-l, mehrere ungerade 

 Functionen (5 {it, u',. . .i(S^~^^) giebt, für welche die Gleichung .S=0 

 besteht, z. B. sechs, wenn p = 2. Bei der hohen Ausl)ildung, zu 

 der die formale Algebra gelangt ist, sollte ich aVier meinen, müsste 

 eine Aufgabe, wie die angedeutete, nicht von vornherein als eine 

 unlösbare betrachtet werden. 



