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Über auflösbare Gruppen. 



Von Gr. Frobenius. 



Wenn man nur die Ordnung einer endlichen Gruppe kennt, so kann 

 man, wie zuerst Hr. Sylow entwickelt hat, aus der Art, wie diese Zahl 

 aus Primfactoren zusammengesetzt ist, weitgehende Schlüsse über die 

 Constitution der Gruppe ziehen (Math. Ann. Bd. 5). Jede Gruppe, deren 

 Ordnung eine Potenz einer Primzahl ist, ist nach einem Satze von Sylow 

 die Gruppe einer durch Wurzelausdrücke auflösbaren Gleichung oder, 

 wie ich mich kurz ausdrücken will, eine autlösbare Gruppe. Ich will 

 hier ein Gegenstück zu diesem Satze entwickeln: Jede Gruppe, 

 deren Ordnung ein Product von lauter verschiedenen Prim- 

 zahlen ist, ist auflösbar. Die Compositionsfactoren ihrer Ordnung 

 sind die einzelnen Primzahlen der Reihe nach von der kleinsten bis 

 zur grössten. Ist also h = p l p 2 . . . p n die Ordnung einer Gruppe § 

 und sind p l <p 2 < . . . <.p n ihre Primfactoren, so besitzt $3 eine Reihe 

 invarianter Untergruppen §, ,§,...§„ von denen §>. die Ordnung 

 ]>, +l p>. +2 - • ■ p n hat und in £>,._, enthalten ist. 



1. 



Schon Galois hat die Bemerkung gemacht, dass jede Gruppe, 

 deren Ordnung kleiner als 60 ist, autlösbar ist. Hr. Holder hat (Math. 

 Ann. Bd. 40) alle Gruppen untersucht, deren Ordnung kleiner als 200 

 ist und aus der Ordnung allein ihre Constitution bestimmt. Hr. Cole hat 

 (American Journ. of Math. vol. 14) diese Untersuchung auf die Gruppen 

 ausgedehnt, deren Ordnung kleiner als 500 ist (vergl. §.6). 



Solche inductive Untersuchungen sind namentlich darum nützlich, 

 weil sie eine Fülle bemerkenswerther allgemeiner Eigenschaften der 

 Gruppen liefern. Es seheint mir alter vortheilhafter. dabei statt der 

 Grösse der Ordnung die Art ihrer Zusammensetzung aus Primfactoren 

 in Betracht zu ziehen. Sieht man von dem trivialen Falle ab, wo 

 die Ordnung der Gruppe eine Primzahl ist, so ist jede Gruppe, deren 

 Ordnung ein Product von zwei Primzahlen ist, eine auflösbare, und 

 nur dann nicht nothwendig eine ABEL'sche, wenn die eine Primzahl 



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