338 Gesanimtsitzung vom 4. Mai. 



in Bezug auf die andere eongruent i ist, Eine Gruppe der Ordnung p 2 

 ist demnach immer eine Abei/scIic. d. h. ihre Elemente sind vertauschbar. 

 Hr. Holder hat in der oben erwähnten Arbeit gezeigt, dass auch jede 

 Gruppe, deren Ordnung ein Product von drei Primzahlen ist. auflösbar 

 ist. Ich halte diese Induction weiter fortgesetzt und den nämlichen 

 Satz flu- ein Produet von vier Primzahlen bewiesen. Eine Ausnabme 

 1 lüdet allein die Ikosaedergruppe , deren Ordnung gleich 6o = 2 2 -3-$ 

 ist. Damit nämlich eine solche Gruppe nicht auflösbar sei. müssen 

 die beiden kleinsten Primzahlen gleich sein, und wenn die Ordnung 

 p*qr ist . wo p <q <r ist. so muss p 2 = i mod. q sein, was nur möglich 

 ist. wenn p = 2, q = 3 ist. Endlich muss jpg» = 1 (mod. r) und folglich 

 r = 5 sein. Die Unmöglichkeit, die allgemeine Gleichung fünften Grades 

 durch Wurzelausdrücke aufzulösen, erscheint von dem hier gewählten 

 Standpunkte aus in einem neuen Lichte. Sie tritt nur darum ein, 

 weil die Zahl 60 einer gewissen Anzahl von Bedingungen genügt, die 

 keine andere aus nur vier Primzahlen zusammengesetzte Zahl erfüllt. 

 Die analoge Untersuchung über Gruppen . deren Ordnung aus fünf 

 Primfactoren besteht, ist, wenn auch nicht schwer, doch schon recht 

 mühsam. Ich glaube aber, dass unter diesen Gruppen nur die folgenden 

 nicht auflösbar sind: Erstens. 2 Gruppen der Ordnung 120 = 2 3 • 3 • 5. 

 Die Compositionsfactoren der Ordnung sind bei der einen 2 und 60, 

 bei der andern öo und 2. Zweitens. 3 einfache Gruppen, gebildet 

 von den eigentlichen gebrochenen linearen Substitutionen in Bezug 

 auf einen Primzahlmodul p von der Ordnung ^p(p % — 1) für p = 7, 

 11 und 13. Die Ordnungen sind 



i68 = 2 3 -3'7, 660 = 1 2 • 3 • 5 • 1 1 , 1092 = 2 2 • 3 • 7 • 13. 



2. 



Der Satz von Sylow, dass jede Gruppe der Ordnimg p" auflös- 

 bar ist. lässt sich auf zwei Arten beweisen. Entweder theilt man 

 die Elemente in Classen ähnlicher Elemente und zeigt so. dass die 

 Gruppe ein von dem Hauptelement E verschiedenes Element enthält. 

 das mit allen Elementen vertauschbar ist. Oder man beweist, dass 

 jede ihrer Untergruppen der Ordnung p"~' invariant ist. ein Satz, 

 der sich dahin verallgemeinern lässt: Ist p die kleinste in g auf- 

 gehende Primzahl, und ist fSp. so ist eine Untergruppe der Ord- 

 nung (j von einer Gruppe der Ordnung /</ stets eine invariante. Im 

 dies einzusehen, braucht man nur. wenn ® die Untergruppe der Ord- 

 nung <j ist. die Elemente der ganzen Gruppe $j in Classen von Ele- 

 menten zu theden, die nach dem Doppelmodul ©,© aequivalent sind. 



