Frohenius: Über auflösbare Gruppen. 339 



Es scheint bisher nicht bemerkt worden zn sein , dass man die 

 Bedingungen für die Auflösbarkeit einer Gruppe mit Hülfe jenes 

 Satzes von Sylow auf eine besonders einfache Form bringen kann. 

 G alois drückt die Bedingungen, welche für die Auflösbarkeit noth- 

 wendig und hinreichend sind, so aus: Die Gruppe £ enthält eine 

 Reihe von Untergruppen §, , § 2 . . .§„, deren letzte nur aus dem 

 Hauptelemente besteht, von denen jede eine invariante Untergruppe 

 der vorhergehenden ist, und für welche der Quotient der Ordnungen 

 von je zwei auf einander folgenden eine Primzahl ist. Oder kürzer: 

 <5 enthält eine invariante Untergruppe @, die selbst auflösbar ist. 

 und deren Ordnung sich von der Ordnung von £> nur durch einen 

 Primfactor unterscheidet. Oder endlich: Entweder ist die Ordnung 

 von § eine Primzahl, oder § besitzt eine von § und der Haupt- 

 gruppe verschiedene invariante Untergruppe ©, und die Gruppen -=- 

 und © sind beide auflösbar. 



Mittelst des Satzes von Sylow lässt sich das Criterium von Galois 

 nun so umformen: Die Gruppe £> enthält eine Reihe von invarianten 

 Untergruppen £, , § 2 . .. § m , deren letzte nur aus dem Hauptelemente 

 liest elit. von denen jede durch die folgende theilbar ist. und für welche 

 der Quotient der Ordnungen von je zwei auf einander folgenden eine 

 Potenz einer Primzahl ist. Diese hinreichende Bedingung ist auch 

 eine nothwendige, wenn die Reihe der invarianten Untergruppe]! 

 eine lückenlose ist. d. h. wenn es keine von fö, und § >+I verschiedene 

 Gruppe giebt, die in £>. enthalten ist und §, +1 enthält und eine in- 

 variante Untergruppe von § ist- Oder kürzer: Entweder ist die 

 Ordnung von *ö eme Potenz einer Primzahl, oder § enthält eine in- 

 variante Untergruppe ©, deren Ordnung eine Potenz einer Primzahl 



ist . und für welche die Gruppe — auflösbar ist. Der Unterschied 



der beiden Criterien besteht hauptsächlich darin, dass die betrachtete in- 

 variante Untergruppe © von § bei dem ersten einen möglichst hohen, 

 bei dem zweiten einen möglichst niedrigen Grad besitzt. Aus seiner 

 letzten Form ergeben sich ganz besonders einlach die Sätze, welche 

 Abel über die Primitivität der Gruppe gegeben hat, wenn man den 

 Satz von Camille Joedan benutzt, dass jede invariante Untergruppe 

 einer primitiven Gruppe transitiv ist. 



Hr. Sylow hat allgemeiner angegeben, dass eine Gruppe der Ord- 

 nung p" <f r y 5* . . . stets auflösbar ist, wenn p>q & r v s*..., g , >r y s*. .., 

 r>s 6 . .. ist. Nach den Gruppen der Ordnung p" hätte man zunächst 

 die zu untersuchen, deren Ordnung p a q ß nur durch zwei verschiedene 

 Primzahlen theilbar ist. Für verschiedene kleinere Werthe von a. und 



