340 Gesammtsitzung vom 4. Mai. 



3 ist es leicht <lie Constitution der Gruppe zu ermitteln. Z. B. ist . wie 

 ich bei einer anderen Gelegenheit ausfahren will, eine Gruppe der 

 Ordnung p"q immer auflösbar. 



3. 



Ich wende mich nun zvi dem Satze, welcher den eigentlichen 

 Gegenstand dieser Arbeit bildet. Sein Beweis beruht auf folgendem 

 Lemma : 



Sind die Primfactoren der Zahl a alle unter einander ver- 

 schieden, und ist jeder Primfactor von b grösser als der 

 grösste Primfactor von a, so giebt es in einer Gruppe der 

 Ordnung ab genau b Elemente, deren Ordnung in b aufgebt. 



Ist p eine in a aufgehende Primzahl, so enthält eine Gruppe £> 

 der Ordnung h = ab nach dem CAUCHY'schen Satze eine Untergruppe ^ 

 der Ordnung p, welche aus den Potenzen eines Elementes P bestellt. 

 Die mit der Gruppe ^3 vertauschbaren Elemente von £> bilden eine 

 Gruppe Ö. Ihre Ordnung sei a'pb', wo a'p ein Divisor von a und 

 b' ein Divisor von b sei. Endlich sei a = a'a'p und b = b'b". Da 

 h die Primzahl p nur in der ersten Potenz enthält, so giebt es nach 

 dem SYLOw'schen Satze in § a"b" verschiedene und zwar conjugirte 

 Gruppen ^3, und jeder derselben entspricht in der angegebenen Weise 

 eine Gruppe Q der Ordnung a'pb'. Jede solche Gruppe Q enthält 

 nur eine Untergruppe ^3 der Ordnung p. Jedes Element Q von &, 

 dessen Ordnung q = rp durch p theilbar ist, gehört einer der Gruppen 

 Q an. Denn Q' = P hat die Ordnung p.. Ist also <Tj die Gruppe 

 der Potenzen von P, so ist Q mit P, also auch mit s }3 vertauschbar. 

 Zwei verschiedene Gruppen Q haben aber kein solches Element Q 

 gemeinsam. Denn sonst hätten sie auch Q = P gemeinsam, also 

 auch die Gruppe *p der Potenzen von P. 



Nun will ich den Beweis auf einen Inductionsschluss gründen: 

 Ist a = i , also die Anzahl n der Primfactoren von a gleich o , so ist 

 der Satz seil istverständlich. Angenommen, er sei für den Fall, wo 

 die Anzahl der in a aufgehenden Primfactoren <n ist. bereits dar- 

 gethan. Ist dann p die grösste in a aulgehende Primzahl, so enthält 



die Gruppe § der Ordnung — -pb genau pb Elemente, deren Ordnung 



in pb aufgeht. Ebenso enthält eine Gruppe Ü der Ordnung a'pb" 

 genau pb' Elemente, deren Ordnung in pb. also auch in pb' aufgeht. 

 Denn die Ordnung jedes Elementes von Q geht in die Ordnung a'pb' 

 dieser Gruppe auf. Soll sie also auch in pb aufgehen, so muss sie 

 auch in dem grössten gemeinsamen Divisor pb' dieser beiden Zahlen 



