Frobenius: Über autlösbare Gruppen. B41 



enthalten sein. Ich will nun zeigen, dass § genau {.p — i ) 6 Elemente 

 enthält, deren Ordnung zugleich ein Vielfaches von p und ein Theiler 

 von pb ist. Daraus folgt dann, dass § genau pb — (p —i)b =-. b Ele- 

 mente enthält, deren Ordnung ein Theiler von pb. alter kein Viel- 

 faches von p ist, also in b aufgeht. 



Zu dem Zwecke werde ich beweisen: Ist Q ein Element von Q, 

 dessen Ordnung q in pb, mithin auch in pb' aufgeht, so haben auch 



p — i 



Q, QP, QP\... QP 



also die p Elemente des Complexes Q^3 dieselbe Eigenschaft, imd 

 unter ihnen befinden sich p — i, deren Ordnung durch p theilbar ist. 

 find eins, dessen Ordnung nicht durch p theilbar ist. Denn jedes 

 Element Q von ist mit der Gruppe %\ vertauschbar, genügt also der 

 Bedingung Q~'PQ = P'. Nun muss aber s = i (mod. p), also Q mit P 

 vertauschbar sein: Denn da Q ? = E ist, so ist P = Q-t PQi = P( s <) 

 und mithin s 7 = i (mod. p). Weil aber q ein Divisor von pb ist, und 

 die Primfactoren von b alle ^ p sind , so sind q und p — i theiler- 

 fremd. Aus den Congruenzen s q = i und s p ~'=i folgt daher s = i. 



Ist nun zunächst q nicht durch p theilbar, also ein Divisor von b' , 

 so ist die Ordnung von QP X gleich qp, falls A von o verschieden ist. 

 und damit ist die obige Behauptung über die p Elemente des Com- 

 plexes Q*p dargethan. Ist aber q = rp durch p theilbar, so hat Q' 

 die Ordnung p, also ist Q r = P\ und Q s ]3 besteht aus den p Ele- 

 menten QP S ' = Q I+r ' (A = o, i, . . .p — i). Die Ordnung eines solchen 

 Elementes ist pr und nur dann r, wenn i + rX = o mod. p ist. Dies 

 tritt, da r nicht durch p theilbar ist, für einen und nur einen Werth 

 von A ein. 



Eine Gruppe Q enthält genau pb' Elemente, deren Ordnung in pb 

 aufgeht. Diese zerfallen in 6'Complexe von der Form Q^}3. Folglich 

 befinden sieh unter ihnen (p-i)b', deren Ordnung durch p theilbar 

 ist. und //. deren Ordnung nicht durch p theilbar ist. Die Gruppe § 

 enthält a"b" verschiedene Gruppen 0. Jedes Element von § dessen 

 Ordnung durch p theilbar ist, kommt in einer und nur einer dieser 

 a"b" Gruppen vor. Folglich enthält § genau (p — i)b-a"b" = a"(p — i)b 

 Elemente, deren Ordnung ein Vielfaches von /) und ein Theiler von pb 

 ist. Nun enthält aber $ genau pb Elemente, deren Ordnung in pb 

 aufgeht, und dazu gehört das Hauptelement E, dessen Ordnung i nicht 

 durch /) theilbar ist. Daher ist a"{p — i)b<pb oder {a"—i)(p — \)<i 

 und mithin a" = i. Demnach enthält <r> genau {p — i )b Elemente, deren 

 Ordnung ein Vielfaches von p und ein Theiler von pb ist. und folg- 

 lich genau 6 Elemente, deren Ordnung in b aufgeht. Aus der Gleichung 

 er" = i ergiebt sich ferner die Folgerung: 



