342 Gesammtsitzung vom 4. Mai. 



Die Ordnung einer Gruppe £> sp i opb, wo P eine Primzahl 

 ist, o durch kein Quadrat theilbar ist und nur durch Prim- 

 zahlen, die <,p sind, h aber nur durch Primenzahlen, die 

 die >j) sind. Sei *P eine Untergruppe von $, deren Ord- 

 nung gleich p ist. Dann bilden die mit *J3 vertausehbaren 

 Elemente von £) eine Gruppe, deren Ordnung durch <ip 

 theilbar ist. 



Dass sich in einer Gruppe der Ordnung /i = ab genau b Ele- 

 mente befinden, deren Ordnung in b aufgeht, kann man mittelst der 

 obigen Deduction schon daraus schliessen. dass a und b relativ prim 

 sind . die Primt'actoren p, q, r, ... v von a alle unter einander ver- 



h 

 schieden sind und sich so ordnen lassen, dass p — i und — , q — i 



p 



und — . r — i und — , . . . v — i und - — theilerfremd sind. 



pq pqr pqr . . . v 



4. 



Aus dem entwickelten Lemma ergiebt sich nun leicht der Satz: 



Sind p x < p 2 < . . . < p n n verschiedene Primzahlen , so ent- 

 hält eine Gruppe § der Ordnung p f p 2 . . . p n eine und nur 

 eine Untergruppe §>. der Ordnung p,. +l p >+2 . ■ ■ p„- Diese 

 ist daher eine invariante Untergruppe von § u »d ist in 

 Öx-i enthalten. Die Gruppe § ist aus den Gruppen 



_Ö 6, 6»-. ß 



6,' &"" £»-.' *" _ ' 



der Ordnungen 



P, , P*,--- Pn-l , Pn 



zusammengesetzt. 



Denn i3 enthält eine Untergruppe §„_, der Ordnung p n und 

 nur eine, weil es in !£ nicht mehr als p n Elemente giebt. deren 

 Ordnung in p n aufgeht. Folglich ist §„_, eine invariante Untergruppe 



von JÖ- Mithin ist — — eine Gruppe der Ordnimg p, p 2 .../»„_,. ent- 



•On — l 



hält also eine und nur eine Untergruppe "~ 2 der Ordnung ;?„_,. I>a- 



AJn — I 



her ist Ö«- 2 °hie invariante Untergruppe der Ordnung p n _, p n von *5 

 und besteht aus allen Elementen von i3> deren Ordnung in />„_, p n 



aufgeht, und die Gruppe -= — hat die Ordnung p x p 2 . . . p„_ a , u. s.w. 



£Xl — 2 



