Frobenius: Über auflösbare Gruppen. 34 3 



Eine besonders bemerkenswerthe Folgerung aus dem bewiesenen 

 Satze ist diese: Seien A und B zwei Elemente von §> a und b ihre 

 Ordnungen. Ist p }+l die kleinste in ab enthaltene Primzahl, so gehen 

 nach den über h gemachten Voraussetzungen a und b beide in 

 P;.+, p K+2 • ■ ■ Pn anf. Daher gehören beide der Gruppe £)> an und 

 mithin auch ihr Product. Folglich ist auch die Ordnung von AB 

 ein Divisor von p >+l ]i,. + 2 ■ ■ • p„- Die Ordnung des Produetes mehrerer 

 Elemente ist also durch keine Primzahl theilbar, welche kleiner ist. 

 als die kleinste Primzahl, die in die Ordnung eines der Factoren 

 aufgeht. 



Zum Theil hängen die erhaltenen Resultate mit folgendem Satze 

 zusammen, auf den ich bei einer anderen Gelegenheit zurückzu- 

 kommen gedenke : 



Ist © eine invariante Untergruppe von £>• sind und // 

 die Ordnungen von © und §, und sind die Zahlen g und 



— theilerfremd , so ist jede Untergruppe von §, deren Ord- 

 nung in g aufgeht, in © enthalten. Daher besteht © aus 

 allen Elementen von §, deren Ordnung in y aufgeht. 



Mittelst derselben Principien lässt sich auch der folgende Satz 

 beweisen : 



Sind p, < p 2 . . . < p n < p u + i verschiedene Primzahlen . so 

 enthält eine Gruppe der Ordnung p x p 2 . . . p„ p" eine und 

 nur eine Untergruppe §^ der Ordnung p >+l p x+2 ■ ■ ■ p„ p a - 

 Diese ist daher eine invariante Untergruppe von £ und i s * 

 in i3>.-i enthalten. Die Gruppe £ ist aus den Gruppen 



6 5, ö„-, 



ö, ' 5 2 ' ' 6„ 



& 



der Ordnungen 



Pn, P 



zusammengesetzt, die letzte §» wieder aus «Gruppen der 

 Ordnung p. Jede Gruppe der Ordnung p, p 2 . . . p n p" ist 

 folglich auflösbar. 



Denn nach dem Sxi-ow'schen Satze enthält § eine Untergruppe 

 Jj3 B der Ordnung />" und nur eine, weil es in £> nicht mehr als 

 p" Elemente giebt. deren Ordnung in p" aufgebt. Folglich ist §„ eine 



