344 Gesammtsitzung vom 4. Mai. 



invariante Untergruppe von £)• Mitliin ist _ eine Gruppe der Ord- 



nung p, p 2 . . . p„ u. s. w. 



Bei einer anderen Gelegenheit will ich aus dem oliigen Lemma 

 noch den Satz herleiten: 



"Sind p l <.p 2 <. ■ ■ ■ < J>„ < q < '' verschiedene Primzahlen, so ent- 

 hält eine Gruppe § der Ordnung p t p 2 . . . p n q 2 r y eine und nur eine 

 Untergruppe £> x der Ordnung p y+l p > _ +2 . . .p n (fr y , §„ der Ordnung q 2 r y , 

 5»+2 der Ordnung r y und eine Untergruppe &„ + l der Ordnung qr y . 

 Diese sind daher invariante Untergruppen von §, jede ist in der vor- 

 hergehenden enthalten und £) ist aus den Gruppen 



zusammengesetzt, also auflösbar. Eine Ausnahme tritt nur ein für 

 q = 2 , r = 3 , also n = o. Eine Gruppe der Ordnung 2 2 - 3 7 , die keine 

 invariante Untergruppe der Ordnung 2 • 3 7 hat, hat eine solche der 

 Ordnung 2 2 »3 7_I und 3 7- ' und ist in Bezug auf die letztere als Modul 

 die Tetraedergruppe der Ordnung 12. 



6. 



In der Eingangs erwähnten Arbeit des Hrn. Cole ist es unent- 

 schieden gelassen, ob es einfache Gruppen der Ordnung 432 = 2 4 «3 3 

 giebt. Ich will daher zeigen, dass keine Gruppe § der Ordnung h=p 4 q !i 

 einfach sein kann, wenn p und q Primzahlen sind und p<Lq ist. Ist 

 /8 = 1, so folgt die Behauptung aus dem am Ende des §. 2 angegebenen 

 Satze. Sei also /3> 1 und § einfach. Eine Untergruppe der Ordnung 

 q® ist dann keine invariante Untergruppe. Es giebt also eine von ü 

 verschiedene mit Ü conjugirte Untergruppe Ü,. Sei (S das kleinste ge- 

 meinschaftliche Vielfache. © der grösste gemeinsame Divisor von 

 und Ü,. 



Die Ordnung c von ß kann nicht p^q = — sein. Sonst wäre, da p 



die kleinste in // aufgehende Primzahl ist. (S nach §. 2 eine invariante 

 Untergruppe von i\ Audi kann nicht c = pq !i sein, weil eine Gruppe 

 (£ der Ordnung pq & nicht zwei verschiedene Untergruppen und 0, der 

 Ordnung q" enthält. Sei c=p 2 q ß . Die mit vertauschbaren Elemente 

 von ß bilden eine Gruppe 0'. Ihre Ordnung kann nicht p a q® sein, sonst 



