Frobenh's: Über auflösbare Gruppen. 345 



würde ß nicht zwei verschiedene Untergruppen der Ordnung q l ent- 

 halten. Sie kann auch nicht pq' J sein, weil p < q, also nicht p = i mod. q 

 ist. Ist sie gleich <?\ so ist p 2 = i mod. q, also p = 2 , 9=3. Da § 



einfach ist und eine Untergruppe ß der Ordnung p 2 q s ' = — besitzt, so 



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 lässt sich § als Gruppe von Substitutionen von 4 Symbolen darstellen. 

 Das ist aber nicht möglich., weü 4! nicht durch 2 4 theilbar ist. 



Daher ist c=p 4 q a und 6 = £>■ Di e Ordnung des grössten ge- 

 meinsamen Divisors <D von zwei verschiedenen conjugirten Gruppen 

 Ö und Ü, kann nicht q*~' sein. Sonst wäre -D eine invariante Unter- 

 gruppe von Ü und Q, , also auch von ihrem kleinsten gemeinschaftlichen 

 Vielfachen $3, un d es wäre © von der Hauptgruppe verschieden, weil 

 ß > 1 ist. Nun sei D' die Gruppe der mit Q vertauschbaren Elemente 

 von §. Theilt man dann die Elemente von £) in Classen von Elementen, 

 die nach dem Doppelmodul 0, Q' aequivalent sind, so erkennt man, 

 dass der Quotient der Ordnungen von <5 und 0' congruent 1 (mod. q 2 ) 

 ist. Daher kann er nicht gleich p oder p 2 sein, auch nicht p 3 , da 

 nicht p 2 + p + 1 eee o mod. q 2 sein kann, auch nicht p 4 , sonst wäre 

 (p 2 — 1 ) (p 2 + 1 ) = o mod. q 2 . Ist er aber gleich 1 , so ist eine in- 

 variante Untergruppe von jry 



