ScHOTTKY: Zum Picard'scIicii Satz. 



bezeichnen wir mit u. Zu zeigen ist demnach, dass 

 und nur dann der kleinste unter den drei Werthen 



log(«) 



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dann 



loa' I i — 



log(w)| 



ist, wenn |i — u\ der kleinste unter den drei Werthen |i — u\ , \u\ 

 und i ist. 



Vorauszuschicken ist, dass zwar log(w) eine unstetige Function 

 ist, der absolute Betrau' davon aber eine stetige, auch beim Durch - 

 gang durch die negative Abscissenlinie. Für u = o und u = oo wird 

 allerdings |logUd| unendlich gross: aber der reciproke Werth nähert 

 sich stetig dem Werthe o bei der Annäherung an diese Punkte. Es 

 ist ferner ausnahmslos: 



loffl- 



u 



= llog(w) 



und auch, wenn u und u conjugirte complexe Grössen bedeuten. 

 I log (m') I = |log(w)|. In allen diesen Beziehungen verhält sich |log(w)| 



u-\ 



u 



so, wie z. B. 



Das Gebiet G, in welchem 



1 1 — u | < | u | und < i 



ist, wird begrenzt durch einen Kreisbogen und die zugehörige Sehne. 

 Der Bogen ist ein Theil des Kreises, der um den Punkt i mit dem 



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Radius i beschrieben ist; seine Länge ist 



seine Endpunkte sind 



die Wurzeln der Gleichung tf — m+i = o, und die Mitte des Bogens 

 ist der Punkt u = 2. Längs der Sehne ist der reelle Theil von u 

 gleich +. so dass hier u und 1 — u conjugirte complexe Grössen sind, 

 zunächst zu zeigen, dass in dem Gebiete G durchweg 

 1 



Um 

 log(tt)l< 



log 



ist , betrachten wir den Quotienten 

 log(M) 



log 



= F(u) 



1 — u j 



Diese Function ist unstetig längs der beiden Abschnitte der Ab- 

 scissenlinie von o bis — 00 und von 1 bis 00, von denen die letztere 

 Strecke, von 11 = 1 bis «= 2, in das Gebiet G hineinragt. An jeder 

 anderen Stelle hat F(u) regulären Charakter. Der absolute Betrag von 

 /■'wo dagegen ist endlich und stetig in jedem endlichen Gebiete, das 

 den Nullpunkt nicht enthält — also jedenfalls im Gebiete G und 



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