Mertens: TTber Gleichungen, deren Grad eine Primzahlpotenz ist. 135 



Es ist nicht ohne Interesse, die Gestalt der Wurzeln x, einer 

 Gleichung vom Grade p" mit nicht verschwindender Üiscriminante zu 

 suchen, deren l'uefficienten einem gegebenen Rationalitätsbereich M 

 angehören und welche die Eigenschaft hat, dass alle rationalen Func- 

 tionen (p ihrer Wurzeln, welche die Permutationen der Gruppe T ver- 

 tragen, rational bestimmbar sind. 



Es seien x s , x a , ...x n Unbestimmte und u> eine ganze ganzzahlige 

 Function von x. Unter x* soll das Potenzproduet 



Mo M, [hin- 

 unter x% der Ausdruck x" z ', unter (x a x ß> ---x^ w das Potenzproduet 



X w a ' Xg, . . . x" 



verstanden werden. Bezeichnet man einen Ausdruck von der Form 



A{x?— i) + B(xl— i)-h...-hE{x£— l), 



wo A,B. ... E ganze Functionen von x s ,x 2 , ... x„ sind , allgemein mit 

 23, so ist ersichtlich 



x k ' x k~ := X k ■+" -i) 



Ist g (x t , x 2 , . . . x n ) eine ganze Function der Unbestimmten x t , x 2 , ...x n 

 und u eine primitive p te Einheitswurzel, so soll unter g (w) der Ausdruck 



g (x", x?, . . . x"), 



unter g der Ausdruck g(a.,i, . . . i) verstanden werden. 



Bezeichnet man die über alle Functionen r von fi zu erstreckende 

 Summe 



X x T"*Xe 



mit L(ui), so sind in dem Ausdrucke L(w) alle p" — i LAGRANGE'schen 

 Resolventen der Gleichung für .r,, , . . . enthalten, wenn für w alle 

 Functionen von i2 ausser o gesetzt werden. L (o) ist die Wurzelsumme. 

 Man kann eine ganze ganzzahlige Function 



•4/ = c -+- c, x •+■ . . . 



von der Art ermitteln, dass alle Resolventen 



von Null verschieden ausfallen. Denn der Ausdruck 



