Mertens: Uher Gleichungen, deren Grad eine Primzahlpotenz ist. 131) 



5. 



Die gefundene Gestalt der Wurzeln x ä ist aber nicht nur noth- 

 w endig, sondern auch hinreichend für die rationale Bestimmbarkeit 

 der Functionen <p. 



Denn man nehme für y , ?/, , . . . y,_, die Wurzeln einer beliebigen 

 cyklischen Gleichung t h ' n Grades mit Coefficienten in SR, für /, g be- 

 liebige ganze Functionen von n Variablen x z , x t ,.. . mit ebensolchen 

 Coefficienten und für C eine beliebige Grösse aus $R. 



Zieht man eine ganze Function © von p" Unbestimmten x^ in 

 Betracht, welche bei allen Permutationen der Gruppe T identisch un- 

 geändert bleibt, und stellt x- durch L{o) und die Resolventen 2/(9-) 

 dar, so ergiebt sich für eine Summe von Ausdrücken 



y(*)n£(&)*. 



wo p & eine ganze nicht negative Zahl, y(a) eine ganze rationale Function 

 von a. und L(ö) bezeichnen und das Product auf alle Functionen 9 

 von V. zu beziehen ist. Die Summe enthält nur Glieder, in welchen 



2f?9 = o (modd P, p) 



ist, wie sofort erhellt, wenn man alle Permutationen (£,£-t-A) aus- 

 führt und die Resultate addirt. Vollzieht man die Permutationen 

 i , q , . . . q'~' und setzt 



j (QoW ■+■ Q. (*)-»- • • • + (l-A*)) = % (*) . 



so ergiebt die Addition der Resultate 



Da die Wurzel * in © nicht vorkommt, so darf dieselbe durch et*, . . . a.''~ 

 erset/t werden und es erhellt, dass linear-homogen durch Aus- 

 drücke von der Form 



L(Ö) h (et m n{et)-ha* m %.{et*)-+- . . - -r-a ( ''- l) '"?lK-')) 



mit Coefficienten in $R darstellbar ist. 



Denkt man sich nun unter #g den oben gefundenen Ausdruck, so ist 



27(9) = G(9)n F{—$wx k y [w ~ % 



zu setzen und es wird 



Q,.( fl ) = |7(T(9a'-T--ni 7 <-^'~' ü '- r ^' , '" U_ ' 1 " ' 



