164 



Arithmetische Untersuchungen über endliche 

 Gruppen linearer Substitutionen. 



Von Dr. Lssai Schur, 



Privatdozent an der Universität zu Berlin. 



(Vorgelegt von Hrn. Frobenius am 11. Januar 1906 [s. oben S. 1]. 



üäne endliche Gruppe § der Ordnung h, deren Elemente in k Klassen 

 konjugierter Elemente zerfallen, besitzt, wie Hr. Frobenius gezeigt hat, 

 genau Je einfache Gruppencharaktere % (0) (i2) , % (1) (i2) , • • ■ , % (<-1) (i?). 

 Jedem Charakter % w (iü) entspricht eine irreduzible. Darstellung der 

 Gruppe § durch lineare Substitutionen (Matrizen), in der die dem 

 Element R von § entsprechende Substitution A R die Spur %^(R) 

 besitzt. Die verschiedenen unter den h Substitutionen A R bilden eine 

 der Gruppe £ ein- oder mehrstufig isomorphe Gruppe .s3 (k) von li- 

 nearen Substitutionen. Jede andere irreduzible Gruppe von höchstens 

 h linearen Substitutionen, die der Gruppe .V> ein- oder mehrstufig iso- 

 morph ist, muß einer der /* Gruppen £> w äquivalent, d. h. durch eine 

 Transformation der Variabein in § überführbar sein. 



Kommt unter den der Gruppe $3 W äquivalenten Gruppen eine 

 Gruppe © von linearen Substitutionen vor, deren Koeffizienten sämtlich 

 einem Zahlkörper K angehören, so wollen wir diese Eigenschaft der 

 Gruppe iö w dadurch kennzeichnen, daß wir sagen: A3*"* ist einer im 

 Körper K rationalen Gruppe äquivalent oder auch i3 w ist im Körper K 

 rational darstellbar. 



Nach einem Ergebnis des Hrn. Frobenius läßt sich der Körper K 

 auch stets als ein algebraischer Körper fi(/n) wählen: hierbei bedeutet 

 £2 den Bereich der rationalen Zahlen. 



Es entsteht nun die Aufgabe zu untersuchen, durch welche Eigen- 

 schaften die algebraischen Körper, in denen die Gruppe i3 w rational 

 darstellbar ist, charakterisiert sind, und insbesondere den kleinsten 

 in Betracht kommenden Grad eines solchen Körpers zu bestimmen. 



Diese Aufgabe läßt sich noch etwas verallgemeinern. Es sei P 

 ein gegebener Rationalitätsbereich. Es kann dann gefragt werden, 



