I.Schur: Arithmetische Untersuchungen über endliche Gruppen. 165 



in welchen algebraischen Körpern P(|w) über P die Gruppe § w rational 

 darstellbar ist. 



Ein solcher Körper P(f^) muß zunächst alle Zahlen % w (72) ent- 

 halten. Wenn also die k Zahlen % w (i2) einen durch die Zahl % 

 bestimmten Körper £2(%) erzeugen, und % im Körper P einer irredu- 

 ziblen Gleichung des Grades / genügt, so muß der Grad n des Kör- 

 pers P(n/) (in bezng auf P) durch l teilbar sein. Ist nun der kleinste 

 in Betracht kommende Grad n gleich ml, so will ich die Zahl m den 

 Index der Gruppe £ w oder auch des Charakters % w (iü) in bezug auf 

 den Körper P nennen. 



Die Zahl m ist als vollständig bestimmt anzusehen, Avenn neben 

 dem Körper P und der Kompositionstabelle für die Elemente der 

 Gruppe yS noch die k Zahlen y} x) (R) gegeben sind. Die genaue Be- 

 rechnung von m allein unter Benutzung dieser Daten scheint jedoch 

 mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden zu sein. 



Die vorliegende Arbeit liefert einige Beiträge zur Lösung dieser 

 Aufgabe. 



Insbesondere wird gezeigt: enthält eine Untergruppe © von <ö w 

 einen irreduziblen Bestandteil, der im Körper P rational darstellbar 

 ist, genau r mal, so muß r durch m teilbar sein; speziell ist m ein 

 Divisor der Zahl /„ = % (k) (E). 



Dieser allgemeine Satz enthält als speziellen Fall ein von Hrn. 

 Btonside 1 vor kurzem auf anderem Wege gewonnenes wichtiges Re- 

 sultat, das sich folgendermaßen aussprechen läßt: die Gruppe 5 W läßt 

 sich stets im Körper der A ten Einheitswurzeln rational darstellen, wenn 

 keine ganze Zahl m > 1 existiert, so daß die charakteristische Deter- 

 minante jeder Substitution von £ w die w' te Potenz einer rationalen 

 Funktion wird. 



Als weitere Folgerung aus unserem Satz erwähne ich noch hier, 

 daß jede auflösbare Gruppe £ W im Körper der h tea Einheitswurzeln 

 rational darstellbar ist. 



Der Index m des Charakters % w (i2) in bezug auf den Körper P 

 läßt noch eine andere Deutung zu. 



Man bezeichne eine im Körper P rationale Gruppe von linearen 

 Substitutionen als in P irreduzibd, wenn sich keine ihr äquivalente, 

 in P rationale Gruppe angeben läßt, deren Substitutionen Koeffizienten- 

 matrizen der Form ( „) besitzen, wo die den verschiedenen Sub- 

 stitutionen der Gruppe entsprechenden Matrizen A denselben Grad 

 haben sollen. Haben dann die Zahlen m und / für den Charakter 



1 Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2. Vol. 3 (i9°5)> S. 239. 

 Sitzungsberichte 1906. 16 



