166 Gesammtsitzung vom 1. Februar 1906. — Mittheilung vom 11. Januar. 



% W (-R) dieselbe Bedeutung wie früher, so entspricht dem Charakter 

 % { " ) (R) eine im Körper P irreduzible Gruppe © (>,) von linearen Sub- 

 stitutionen, die im Bereiche aller Zahlen in ml irreduzible Bestand- 

 teile zerfällt, von denen je m einander äquivalent sind, während die / 

 einander nicht äquivalenten irreduziblen Bestandteile den / mit y}*\R) 

 in bezug auf P konjugierten Charakteren von § entsprechen. Die An- 

 zahl der verschiedenen (nicht äquivalenten) im Körper P irreduziblen 

 Darstellungen der Gruppe § durch lineare Substitutionen ist gleich 

 der Anzahl der in bezug auf den Körper P nicht konjugierten Cha- 

 raktere von VS. 



§ i- 

 Es seien H a ,H x , ■■■ , H lt _ x die Elemente der gegebenen Gruppe £)> 

 und es sei © eine der Gruppe £> isomorphe Gruppe von höchstens h 

 linearen Substitutionen. Entspricht dem Element R von i£ in der 

 Gruppe © die Substitution mit der Koeffizientenmatrix A u und be- 

 deuten x B ,x H ,---,x B unabhängige Variable, so wird die Matrix 



X=%A K x K (R = H ,H 1 ,-..,H ll _ l ) 



R 



eine zu 33 gehörige Gruppenmatrix genannt. Zwei Gruppenmatrizen 

 X und X' desselben Grades heißen äquivalent, wenn sicli eine kon- 

 stante Matrix 1 P von nicht verschwindender Determinante bestimmen 

 läßt, so daß X' = P~ l XP wird. Sind die Koeffizienten aller Matrizen 

 A R Größen eines gegebenen Zahlkörpers P, so soll die Matrix X im 

 Körper P rational heißen. Ferner bezeichnen wir eine (in P rationale) 

 Gruppenmatrix X als in P reduzibel oder irreduzibel, je nachdem die 

 ihr entsprechende Gruppe © in P reduzibel oder irreduzibel ist (vgl. 

 Einleitung). Ist £(R) die Spur der Matrix A R , so nennen wir das 

 System der h Zahlen £(R) den Charakter der Gruppenmatrix X. 



Es gilt nun der Satz: 



I. Es seien X und X' zwei im Körper P irreduzible Gruppemnatrizen 

 der Grade f und f. Ist dann P eine konstante Matrix mit f Zeilen und 

 f Spalten j deren Koeffizienten dein Körper P angehören, und besteht die 

 Gleichung 



XP = PX', 



so ist entweder P = oder sind X und X' äquivalent; und P ist eine 

 quadratische Matrix des Grades f = f von nicht verschwindender Deter- 

 minante. 



1 D.h. eine Matrix mit konstanten, von den x R unabhängigen Koeffizienten, 



