I. Schür: Arithmetische Untersuchungen über endliche Gruppen. 167 



Der Beweis dieses Satzes ist in genau derselben Weise zu führen 

 wie für den Satz I meiner Arbeit »Neue Begründung der Theorie der 

 Gruppencharaktere« .' 



Es sei nämlich r der Rang der Matrix P; man bestimme, was 

 stets möglich ist, zwei Matrizen A und B der Grade / und /' mit 

 Koeffizienten aus dem Rationalitätsbereiche P, deren Determinanten 

 von Null verschieden sind, so daß die Matrix APB die Gestalt 



(f :) 



annimmt: hierin bedeutet E r die Einheitsmatrix des Grades r. Dann 

 ergibt sich aus der Gleichung XP = PX', daß 



X„ X r , f _ r \ D _ iv/D __ ( X rr 



wird, wo die X a3 und X' a3 gewisse Matrizen mit a. Zeilen und ß Spalten 

 bedeuten, die offenbar im Körper P rational sind. Die Gruppenmatrizen 

 X und A'sind dann auch (vgl. B., Satz VII) den in P rationalen Gruppen- 

 matrizen 



{*" ° ),bzw. F Y ° ) 



\0 ^/-r.f-J \0 X> f ._ r , f ._ r ) 



äquivalent. Wäre nun < r <f oder < r </', so würde sich er- 

 geben, daß X oder X' in P reduzibel ist. Ist daher P nicht gleich 0, 

 also r > 0, so muß r = f = f sein: dann ist aber P eine quadratische 

 Matrix von nicht verschwindender Determinante, und die Gruppen- 

 matrizen X und X' sind wegen P~ l XP = X' äquivalent. 



Aus I folgt: 



II. Ist X eine im Körper P irreduzible Gruppenmatrix und P eine 

 mit X vertauschbare konstante Matrix, deren Koeffizienten dem Körper P 

 angehören, so muß die charakteristische Determinante \xE—P\ der Matrix P 

 Potenz einer in P irreduziblen Funktion <p(x) sein und es besteht die 

 Gleichung <p(P) = 0. 



Es sei nämlicli 



\xE—P\ = (p(x)^> l (x)(f 2 (x) • •• , 



wo <p(x) , (p^x) , (pz{x) , ■■■ im Körper P irreduzible Funktionen sind. 

 Dann ist (p(P) eine in P rationale Matrix von verschwindender De- 

 termiuante, die mit X vertauschbar ist. Folglich muß nach Satz I 

 die Gleichung <p (P) = bestehen. Ebenso ist 0,(P) = <p 2 (P) = 0, .... 

 Ist daher ui eine Wurzel der Gleichung \xE— P\ = , so wird <p(u)) = 0, 

 <p,(u)) = 0, <p 2 (w) = 0, .... Die in P irreduziblen Funktionen (p(x). 



1 Sitzungsberichte 1905, S. 406. — Im folgenden wird diese Arbeit kurz mit 

 B. zitiert. 



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