1G8 Gesammtsit/.ung vom 1. Februar 1906. — Mittheilung vom 11. Januar. 



<f> l (x), (p 2 {x) , ••• sind demnach nicht relativ prim zueinander und müssen 

 folglich einander gleich sein. 



Um nun zu entscheiden, ob eine vorgelegte im Körper P rationale 



Gruppenmatrix X = 2-A Ä a - Ä des Grades n im Körper P reduzibel ist 



s 



oder nicht, kann man folgendermaßen schließen. Man bestimme die 

 allgemeinste Matrix V= (v„ß), die mit allen h Matrizen A R vertauschbar 

 ist. 1 Unter den n 2 Koeffizienten v aZ bleiben gewisse q willkürlich; 

 man kann auch q Parameter v l ,v i> ■••,v q wählen, so daß jede der 

 Größen v aß als lineare homogene Funktion von v 1 ,v i , • • • , v q mit in 

 P rationalen Koeffizienten darstellbar ist. Zieht man nun für die 

 n 2 Größen v aß oder, was dasselbe ist, für die q Größen v x , «j, ■•• v q nur 

 Zahlen des Körpers P in Betracht, so läßt sich die Gleichung | v aS | = 

 als eine diophantische Gleichung im Körper P mit q Unbekannten 

 v 1 , v 2 , •••#, ansehen. Ist nun X in P irreduzibel, so läßt sich diese 

 diophantische Gleichung nur durch das System v t = , v 2 = 0, . .. v g = 

 befriedigen. Ist dagegen X in P reduzibel, so genügen der Gleichung 

 | t? aj3 1 = auch Größen v 1 ,v % , ■■■ v q des Körpers P, die nicht sämtlich 

 sind. Denn ist X der in P rationalen Gruppenmatrix 



x ' = [o k 



äquivalent, wo Xj und X 2 die Grade r und n-r liesitzen, so kann 

 man auch eine in P rationale Matrix Q wählen, so daß X= Q~*X'Q 

 wird. Nun ist X' mit der Matrix 



-C :)• 



also X mit der Matrix Q-'P'Q = P vertauschbar. Die Matrix P ist 

 aber in P rational und von der Determinante 0, ohne daß alle Koeffi- 

 zienten von P verschwinden. — Wir sehen also, daß man, um zu 

 entscheiden, ob eine gegebene in P rationale Gruppenmatrix in P 

 reduzibel ist oder nicht, nur eine einzige diophantische Gleichung im 

 Körper P zu untersuchen hat. 



Es sei nun wieder X = ~XA K x R eine im Körper P irreduzible 



R 



Gruppenmatrix des Grades n. Bezeichnet man die einfachen Cha- 

 raktere der Gruppe § mit % (0) (P) , % (I) (Ä) , ••• , %" _,) (P) und mit £(P) 

 die Spur der Matrix A K , so wird 



wo die r x gewisse nicht negative ganze Zahlen sind. 



1 Es genügt V= XAg-iUAn zu bilden, wo U eine Matrix mit unbestimmten 



K 



Koeffizienten ist. 



