I.Schur: Arithmetische Untersuchungen über endliche Gruppen. 169 



Es seien nun y Bf> , y Hl , ■■■ , y HK -\ irgendwelche Größen des Kör- 

 pers P, die nur der Bedingung unterworfen sind, daß stets y R = y s 

 sein soll, wenn R und S konjugierte Elemente der Gruppe § sind. 

 Die Matrix 



Y= %Axy R 



R 



ist dann eine mit X vertauschbare Matrix, deren Koeffizienten sämt- 

 lich dem Körper P angehören. Setzt man ferner 



so wird (vgl. Frobenius, Sitzungsberichte 1896, S. 1361) 



\xE-Y\ = n(*--^Y" , 



wo /„ = ^(JE) den Grad des Charakters % ( "'(-ß) bedeutet. Da nun 

 nach Satz II die Funktion I^.E'-Fl Potenz einer in P irreduziblen 

 Funktion sein muß, so schließt man leicht, daß diejenigen unter den 

 Zahlen r K , die von Null verschieden sind, einander gleich sein müssen; 

 ist etwa r, = r Xl = • • • = r M _ l = m> , so müssen außerdem die 

 Größen v\ x ,v\ Xl , • • • , ))„_, die Wurzeln einer im Körper P irreduziblen 

 Gleichung des Grades l sein. Hierfür können wir auch sagen: es 

 müssen die / Charaktere % (X) (Ä), % (M) (i?), ■•■, % (X(-l) (-Z2) die sämtlichen 

 zu einem (einfachen) Charakter in Bezug auf P konjugierten Charaktere 

 sein. — Wir setzen zur Abkürzung 



xW(ä) = x (Ä),x (Xl) (ß) = x,(ä). ■•• ,x (x '- 1) (ä) = Xi-iW. 



so daß 



6(Ä) = mjx(fi) + X 1 (fi)+-+Xi_(Ä)| 



wird. 



Es sei nun 



X' = 2 Brxr 



eine zweite in P irreduzible Gruppenmatrix des Grades n, die der 

 Gruppenmatrix X nicht äquivalent ist. Ist %(R) die Spur der Matrix 

 B R , so ist 



e(Ä) = m»jx'( J R) + X» / ( Ä ) + -+X^. 1 (Ä)}. 



wo %{R) , ••■ , %^_,(iZ) die sämtlichen zu einem gewissen einfachen 

 Charakter %'(R) von § in bezug auf P konjugierten Charaktere sind. 

 Ist dann U eine Matrix mit n Zeilen und n' Spalten , deren Koeffizienten 

 unbestimmt bleibende rationale Zahlen sind, so genügt die in P ratio- 

 nale Matrix 



p=XA K -aB R 



