170 Gesammtsitzuiig vom 1. Februar 1906. — Mittheilung vom 11. Januar. 



den h Gleichungen A S P = PB S , also auch der Gleichung XP = PX'. 

 Da nun X und X' nicht äquivalent sein sollen, so muß nach Satz I 

 die Matrix P gleich sein. Setzt man nun 



A X =(a*j,B X =K), \::iz\:i;z\ 



so ergehen sich, weil die Koeffizienten von Z7 beliebige rationale Zahlen 

 bedeuten können, aus P — die Relationen 



Speziell wird 



XXX C 6* = . 



a x R 



Da nun 



ist, so wird also 



sg(Ä- i )r(Ä) = o. 



R 



Diese Gleichung besagt aber (vgl. B., S. 426), daß die l-\-V Charak- 

 tere %(R), ••• %,_,(-B), x(R), ••• %'r-AR) sämtlich untereinander ver- 

 schieden sind. 



Betrachtet man nun zwei im Körper P rationale Gruppenmatrizen, 

 die einander äquivalent sind, als nicht voneinander verschieden, so 

 erkennt man, daß zu einem einfachen Charakter %{R) von £> nur eine 

 in P irreduzible Gruppenmatrix gehören kann, die, im Bereiche aller 

 Zahlen in irreduzible Bestandteile zerfällt, eine irreduzible Gruppen- 

 matrix Z mit dem Charakter %(R) enthält. Daß nun in der Tat zu 

 jedem einfachen Charakter %(R) eine in P irreduzible Gruppenmatrix 

 gehört, erkennt man folgendermaßen. Man betrachte speziell die reguläre 

 Gruppenmatrix 



des Grades h. Der Charakter £(R) dieser Gruppenmatrix ist gleich 



H{R) = Xf^')(R), 



enthält also jeden einfachen Charakter % w , und zwar genau /„mal. 

 Nun ist X gewiß im Körper P rational. Denkt man sich X im Körper P 

 in irreduzible Bestandteile X , X lt X 2 , ■■■ zerlegt, so muß für mindestens 

 eine der Gruppenmatrizen X ot X 1 ,X % , •■■ der ihr entsprechende Cha- 

 rakter £(R) auch den einfachen Charakter %(R) enthalten. 



Fassen wir die gewonnenen Resultate zusammen, so erhalten wil- 

 den Satz: 



III. Die Anzahl der verschiedenen (nicht äquivalenten) im Körper P 

 irreduziblen Gruppenmatrizen X Ü ,X,,X„, ■■■ , die zur Gruppe <p gehören, 



