I. Schur: Arithmetische Untersuchungen über endliche Gruppen. 171 



ist gleich der Anzahl der in bezug auf P nicht konjugierten einfachen Cha- 

 raktere von Sy. Denkt man sich die Gruppenmatrizen X , X, , X 2 , . • • im 

 Bereiche aller Zahlen in irreduzible Bestandteile zerlegt, so enthalten je zwei 

 keinen irreduziblen Bestandteil gemeinsam. Der Charakter einer jeden der 

 Gruppenmatrizen X , X l , X a , ■■■ hat die Form 



»|x(ä) + x 1 (ä) + -+xu( b )|. 



ico %(R) , ^(R) , •••%,_, (R) die sämtlichen zu einem einfachen Charakter 

 X,(R) in bezug auf P konjugierten Charaktere von § sind. 



Die durch den Charakter %(R) und den Körper P eindeutig be- 

 stimmte Zahl m soll nun der Index von %(R) in bezug auf P genannt 

 werden. Offenbar ist m zugleich auch der Index der zu %(R) kon- 

 jugierten Charaktere %^-R) , • • • , %i_ r (R). 



Es gilt nun der Satz: 



IV. Ist X eine beliebige in P rationale Gruppenmatrix, deren Cha- 

 rakter den einfachen Charakter %(R) genau rmal enthält, so ist r durch 

 den Index m des Charakters %{R) in bezug auf P teilbar. 



Denn denkt man sich die Gruppenmatrix X im Körper P in ir- 

 reduzihle Bestandteile zerlegt, so möge die dem Charakter %(R) ent- 

 sprechende in P irreduzihle Gruppenmatrix X genau £mal vorkommen. 

 Da der Charakter %{R) in dem Charakter von X genau mmal ent- 

 halten ist, so muß r = tm sein. 



Wählt man für X wieder die reguläre Gruppenmatrix (xp^), so 

 ergibt sieh : 



V. Der Index m des Charakters %{R) ist ein Divisor der Zahlf= %(E). 



Ks sei wie früher X= 'ZA R x R eine in P irreduzible Gruppen- 

 matrix, deren Charakter gleich 



•»{x(*) + x 1 (*)+-+%_ l (*)| 



ist. Der Grad der Matrix X ist dann gleich mlf, wo/= %(E) ist. Die 

 allgemeinste mit X vertauschbare konstante Matrix V läßt sich dann 

 (vgl. die Anmerkung auf S. 168) in der Form 



V=XAm-iUAjt 



K 



darstellen, wo U= (u a& ) eine Matrix des Grades m//mit unbestimmten 

 Koeffizienten ist. Die charakteristische Determinante |a;i£—F| von V 

 ist dann (vgl. B. S. 420) die/ te Potenz einer ganzen rationalen Funktion 

 des Grades ml, deren Wurzeln untereinander verschieden sind. Man 

 kann daher die Größen w„* auch als rationale Zahlen so wählen, daß 



