172 Gesammtsitzung vom 1. Februar 1906. — Mittheilung vom 11. Januar. 



die ml Wurzeln der Gleichung | ar-E 1 — V| = voneinander verschieden 

 bleiben. Dann wird aber, weil V eine im Körper P rationale mit X 

 vertauschbare Matrix wird, nach Satz II 



wo <p(x) eine im Körper P irreduzible Funktion des Grades ml ist. Da 

 zugleich (p(V) = ist, so sind die Elementarteiler der Determinante 

 \xE— V\ sämtlich linear. Ist nun 



<p(x) = af'-^af'- 1 a„,i = (x-ju ) (a;-|Ui) ■■■ (x-fi m i-i) 



und setzt man 



M. 



i a l o 2 a z 



1 



1 



,0 



» 







1 



M 



so wird (vgl. Frobenius, Crelles Journal Bd. 86. 

 | xE-M | = | xE- M | = <p(<r) . 



Daher sind die Matrizen M und M einander ähnlich. Ferner ist die 

 Matrix 



M • 

 M 







M 



des Grades mlf der Matrix V ähnlich. Man kann daher auch eine in 

 P rationale Matrix Q von nicht verschwindender Determinante wählen, 

 so daß 



Q->VQ = T 



wird. Setzt man nun 



Q-*XQ = X' = XB R x R , 



R 



so ist jede der Matrizen B R mit T vertauschbar. Es werde nun B R in 

 der Form 



B R = (B a& ) (a,ß = l,2,.../) 



geschrieben, wo B a& eine Matrix des Grades ml bedeutet. Aus 



B R Q = QB R 



folgt dann, daß B a& mit M vertauschbar ist. Da nun die charakte- 

 ristischen Wurzeln von M untereinander verschieden sind, so muß 

 B aß = g a ß(M) sein, wo g aS ,(t) eine ganze rationale Funktion des Grades 

 ml-\ von t ist, deren ml Koeffizienten aus linearen Gleichungen mit 

 in P rationalen Koeffizienten zu bestimmen sind, und folglich selbst 



