I. Schur: Arithmetische Untersuchungen üher endliche Gruppen. 173 



dem Körper P angehören. Da ferner die Matrizen M und M ähnlich 

 sind, so schließt man auch sofort, daß sich eine Matrix L des Grades 

 mlf von nicht verschwindender Determinante angeben läßt, so daß 



L-'BkL = C s = (B a$ ) 



wird, wo B„3 = ^(M) wird. 



Bezeichnet man nun die Matrix /""" Grades 



|^-S(r*»)j (.,ß = l,2,.../) 



mit D { j t ] und setzt 



R 



so zerfällt die Matrix L~ l X'L, wie leicht ersichtlich ist, in die ml 

 Gruppenmatrizen Z (0) , Z^ , ■■■ Z ( - ml ~ 1 ' 1 des Grades /. Da nun X im Be- 

 reiche aller Zahlen in genau ml irreduzible Bestandteile zerfällt, so 

 müssen die Gruppenmatrizen Z (a \ Z^ , ••• Z (ml ~ l) irreduzibel sein; ferner 

 müssen unter ihnen je m, einander äquivalent sein, während die / 

 einander nicht äquivalenten den Charakteren %(R) , % t {R) , ■ •• %i-i{R) 

 entsprechen. 



Es ergibt sich insbesondere, daß die zu dem Charakter %(R) 

 gehörende irreduzible Gruppenmatrix Z des Grades f in einem alge- 

 braischen Körper P(fx) des Grades ml über P rational darstellbar ist. 



Es sei umgekehrt eine zu dem Charakter %(R) gehörende, im 

 Bereiche aller Zahlen irreduzible Gruppenmatrix 



Z = %D R X K 



des Grades/ bekannt, in der die Koeffizienten der Matrizen D R einem 

 algebraischen Körper P(v) des Grades q über P angehören. Ferner sei 



Dk=\g^{i)\ ( a ,ß = i,2,.../), 



wo g„n{t) eine gewisse ganze rationale Funktion von t mit Koeffizienten 

 aus dem Körper P ist. Es sei 



u/(x) = af-b^- 1 b q = 



die in P irreduzible Gleichung, der v genügt. Setzt man dann 



1 

 N= I 1 



bq-i b q 











1 0. 



^0 

 so wird -^/(N) = 0. Bezeichnet man nun die Matrix 



\94i*r)\ 



