174 Gesammtsitzung vom 1. Februar 1906. — Mittheilung vom 11. Januar. 



des Grades nf mit F H , so wird offenbar, da für je zwei Elemente R 

 und S von £> die Gleichung D R D S = D KS besteht, auch F R F S — F ss . 

 Daher ist 



X = 2 F R x R 



R 



eine zur Gruppe £j gehörige Gruppenmatrix, die im Körper P rational 

 ist. Sind v , v 1 ■■■ v q _ l die Wurzeln der Gleichung \i/(#) = und 

 setzt man 



so wird die Spur der Matrix F R gleich 



Xo (R) + Xl (R)+...+ x<1 _ l (R). 



Da nun die Charaktere % (R) , ■•• X, q -i(R) in bezug auf den Körper P 

 dem Charakter %(R) konjugiert sind, so sind die in P irreduziblen 

 Bestandteile, in die die Gruppenmatrix X im Körper P zerfallt, sämt- 

 lich der früher betrachteten Matrix X äquivalent. Daher ist der Grad qf 

 der Matrix X durch den Grad mlf der Matrix X teilbar; folglich ist 

 auch die Zahl q durch die Zahl ml teilbar. 1 



Wir erhalten den Satz: 



VI. Ist %{R) ein einfacher Charakter der Gruppe §.> dessen Index 

 in bezug auf den Körper P gleich m islj und ist der durch die h Zahlen 

 %(R) und die Zahlen von P erzeugte Körper P(%)^ ah algebraischer Körper 

 über P betrachtet j, vom Grade /, so ist der kleinste Grad eines Körpers P(^) 

 über P, in dem sich die zu i x,(-R) gehörende irreduzible Gruppenmatrix Z 

 des Grades f = %{E) rational darstellen läßt, gleich ml. Läßt sich Z 

 in einem algebraischen Körper P(v) des Grades q über P rational dar- 

 stellm, so muß q durch ml teilbar sein. 



Es sei noch erwähnt, daß der Körper P(pi) des Grades ml keines- 

 wegs eindeutig bestimmt zu sein braucht. Es kann vielmehr Z auch 

 in zwei Körpern P(w) und P(|u') rational darstellbar sein, die nur den 

 Körper P(%) als gemeinsamen Teiler enthalten. So ist z. B. die durch 

 die Substitutionen 



=(;-<)■ *=(-.») 



erzeugte Gruppe der Ordnung 8, deren Index in bezug auf den Körper S2 

 der rationalen Zahlen gleich 2 ist, nicht nur im Körper Q(»), sondern 

 auch in jedem Körper fi (y- n) rational darstellbar, sobald n eine ganze 

 Zahl ist, die einer Summe von drei Quadraten gleich ist. 



1 Eitie ähnliche Betrachtung findet sich in der Abhandlung des Hrn. Dickson: 

 On the reducibility <>f linear groiips, Transactions of the Amer. Math. Soc. Bd. 4 (1903), 

 S. 434. Das in dieser Arbeit aufgestellte Resultat kann aber, wie leicht zu sehen, 

 nicht allgemein richtig sein. 



