I. Schur: Arithmetische Untersuchungen über endliche Gruppen. 1(5 



Aus dem früher bewiesenen Satz IV folgt unmittelbar: 



VII. Ist P' ein Zahlkörper, der den Körper P enthält _, so ist der Index m 

 des Charakters %(Ä) in bezug auf den Körper P durch den Index m von 

 %(R) in bezug auf den Körper P' teilbar. 



Da insbesondere jeder Körper P den Körper 12 enthält, so ist der 

 Index in von %(R) in bezug auf einen beliebigen Körper P ein Divisor 

 des Index ?n von %(R) in bezug auf den Körper £2. 



Es sei nun speziell P' ein algebraischer Körper P(A) über P, der 

 im Körper P(%) enthalten ist. Genügt A einer in P irreduziblen Gleichung 

 des Grades a, so genügt % im Körper P' einer irreduziblen Gleichung 



des Grades — = V . Nun läßt sich aber die zu %(R) gehörende Gruppen- 

 matrix Z des Grades/ in einem algebraischen Körper P'(f/) des Grades mV 

 über P' rational darstellen. Als algebraischer Körper über P betrachtet, 

 besitzt aber P'(iu') den Grad am'l' = ml. Nach Satz VI ist daher m'l 

 durch ml, also m durch m teilbar. Da andererseits m durch m teilbar 

 ist, so muß m = m sein. 



Vni. Ist P' ein algebraischer Körper über P, der in dem Körper P(%) 

 enthalten ist; so ist der Index des Charakters %{R) in bezug auf P' gleich 

 dem Index von %(jR) in bezug auf P. 



Insbesondere ist also der Index m des Charakters %(R) in bezug 

 auf den Körper S2 zugleich auch der Index von %(-ß) in bezug auf 

 den Körper fl(%). 



Bemerkenswert ist noch der Fall, daß P der Körper der reellen 

 Zahlen ist. Dann ist die zu %{R) gehörende irreduzible Gruppenmatrix Z 

 im Körper P(i), also in einem Körper des Grades 2 über P, rational 

 darstellbar. Daher ist in diesem Falle die Zahl ml ein Divisor von 2; 

 demnach sind nur drei Fälle möglich: 



l = 1 , m = 1 : 1=1, m = 2 ; l = 2 , m = 1 . 



Die im Gebiete der reellen Zahlen irreduziblen Gruppen linearer 

 Substitutionen lassen sich also in drei Arten teilen: i. solche, die im 

 Gebiete aller Zahlen irreduzibel sind; 2. solche, die im Gebiete aller 

 Zahlen in zwei äquivalente irreduzible Gruppen zerfallen; 3. solche, 

 die im Gebiete aller Zahlen in zwei nicht äquivalente (konjugiert kom- 

 plexe) irreduzible Gruppen zerfallen (vgl. A. Loewy, Über die Redu- 

 zibilitiit der reellen Gruppen linearer homogener Substitutionen, Trans- 

 actions of the American Math. Soc. Bd. 4, S. 171). 



§3- 

 Es sei nun *2 eine Untergruppe der Ordnung s von £>• Ist dann 



X = 5 A K Xr 



