I. Schur: Arithmetische Untersuchungen über endliche Gruppen. 177 



die in bezug au/P zu 4/(S) konjugierten Charaktere von ©. Enthält dann 

 %(R) den Charakter \^(<S) von © genau r^ Mal, so muß m ein Divisor 

 der Zahl m'(r + r, + ■ • • + r rf _J sein. 



Man wähle nämlich für die oben betrachtete Gruppenmatrix U 

 von © die dem Charakter yp(S) entsprechende im Körper P irredu- 

 zible Gruppenmatrix. Dann wird der Charakter >j(S) von U gleich 



r, (S) = m> \ xp (S) + if/, (S) + • • • + 4v-! (S) } . 



Die Gruppenmatrix X ist dann ebenfalls in P rational und die ihr 

 entsprechende Zahl a wird gleich m'r + m'r l + ■ ■ • + ftir d _ x . Nach 

 Satz IV ist diese Zahl daher durch m teilbar. 



Sind insbesondere für den Charakter ip(S) die Zahlen m und d 

 gleich 1, so muß die Zahl r = r u durch die Zahl m teilbar sein. 



IX a. Besitzt der Charakter \|/(S) der Untergruppe, © von § die 

 Eigenschaft, daß die ihm entsprechende im. Bereiche aller Zahlen irreduzible 

 Gruppenmatrix von © im Körper P rational darstellbar ist, und enthält 

 der Charakter %(R) von £) den Charakter -d/(S) von © genau r Mal, 

 so ist r durch den Index m von x>(R) in bezug auf den Körper P teilbar. 



Der hier betrachtete Fall tritt insbesondere ein, wenn -^/(S) 

 den Hauptcharakter von © bedeutet, d. h. wenn ^{S) = 1 ist. 

 Denkt man sich daher für alle Untergruppen © von £j die Zahlen 



/• = - 2,%(S) gebildet, so müssen diese Zahlen durch den Index m 



s s 



von 7,(7?) in bezug auf jeden Körper P teilbar sein. Insbesondere er- 

 gibt sich für den durch die Zahlen %{R) bestimmten Zahlkörper 

 P = n(%): 



X. Ist %(R) ein einfacher Charakter der Gruppe £>, der den Haupt- 

 charakter einer Untergruppe © genau r Mal enthält, und sind die den 

 verschiedenen Untergruppen © von <5 entsprechenden Zahlen r ohne gemein- 

 samen Divisor, so ist die zu %(R) gehörende im Körper aller Zahlen 

 irredv zible Gruppenmatrix Z im Körper fi(%) rational darstellbar. 



Dieser Fall tritt insbesondere ein, wenn eine der Zahlen r gleich 

 1 ist. Das sich so ergebende spezielle Resultat ist auf anderem Wege 

 von Hrn. Fkobenius (Sitzungsberichte 1903, S. 328) durch Betrachtung 

 der charakteristischen Einheiten der Gruppen gefunden worden. In 

 seiner in der Einleitung zitierten Arbeit hat Hr. Burnside dieses Re- 

 sultat, offenbar ohne die FROBENiussche Untersuchung zu kennen . von 

 neuem abgeleitet. 



Um eine Anwendung des Satzes X zu geben, will ich untersuchen, 

 für welche Gruppen § es eintreten kann, daß der Index m a eines ein- 

 fachen Charakters yjR) in bezug auf den Körper P., oder was das- 

 selbe ist. in bezug auf den Körper P.(yJ den größten zulässigen Wert 



