178 Gesammtsitzung vom 1. Februar 190<>. — Mittheilung vom 11. Januar. 



f = %(E) annimmt. Hierbei nehme ich an, was keine Beschränkung 

 der Allgemeinheit bedeutet, daß die dem Charakter %(R) entsprechende 

 der Gruppe A} isomorphe Gruppe © von linearen Substitutionen von 

 der Ordnung h sein soll, so daß der zwischen £> und © bestehende 

 Isomorphismus ein einstufiger wird. Notwendig und hinreichend hier- 

 für ist, daß die Zahl %(R) für jedes von E verschiedene Element R 

 nicht gleich / sein soll. Ist dann © eine Untergruppe der Ordnung 

 S>1 von i£, und enthält %(R) den Hauptcharakter von © genau rmal, 

 so muß r </ sein. Denn wäre r = f, so würde für jedes Element 

 S von © die Zahl %{S) gleich / sein. Soll daher m =f sein, so 

 muß, da r durch m teilbar ist, r = sein. Durch Betrachtung der 

 zyklischen Untergruppen © von A3 ergibt sich insbesondere, daß die 

 charakteristischen Wurzeln jeder Substitution von ©, die identische 

 Substitution E ausgenommen, von 1 verschieden sind. Nun hat Hr. 

 Burnside 1 folgenden Satz bewiesen : 



»Ist © eine Gruppe linearer Substitutionen, in der die charakte- 

 ristischen Wurzeln jeder von E verschiedenen Substitution von 1 ver- 

 schieden sind, so muß jede Untergruppe © von ©, deren Ordnung 

 eine Primzahlpotenz/)'* ist, entweder zyklisch oder vom »Quaternionen- 

 typus«, d. h. der durch die Gleichungen 



A-"" 1 = E , S 2 = A* a - 2 , B~ l AB = A- 1 



definierten Gruppe isomorph sein. Im letzteren Falle zerfällt die Unter- 

 gruppe © der Ordnung 2" in irreduzible Bestandteile vom Grade 2.« 



Soll also m =f sein, so muß <ö eine Gruppe sein, deren Unter- 

 gruppen von Primzahlpotenzordnung entweder zyklisch oder vom Qua- 

 ternionentypus sind. 



Ist insbesondere / eine ungerade Zahl, so müssen alle Unter- 

 gruppen von Primzahlpotenzordnung zyklisch sein. In diesem Falle 

 ist >3 bekanntlich eine auflösbare Gruppe. 



Ist nun speziell / eine Primzahl p. so ist ut als Divisor von p 

 entweder gleich 1 oder gleich p. Es ergibt sich der Satz: 



XI. Ist © eine Irreduzible Gruppe linearer Substitutionen in p V<i- 

 rialiihi, wo p eine ungerade Primzahl ist; und ist © nicht eine auflösbare 

 Gruppe _, in der jede Untergruppe von Primzahlpotenzordnung zyklisch ist. 

 so läßt sich © in dein durch die Spulten der Substitutionen von © be- 

 stimmten Rationalitätsbereich rational darstellen. 



Die auflösbaren Gruppen © der hier erwähnten Art wären noch 

 besonders zu betrachten. Ich habe bis jetzt nicht entscheiden können, 

 welche unter diesen Gruppen eine wirkliche Ausnahme bilden. Die 

 Beantwortung dieser Frage scheint schwierig zu sein. Man betrachte 



1 The Messenger of Mathematics, 1905. S.51. 



