I. Schur: Arithmetische Untersuchungen über endliche Gruppen. 179 



z. B., wenn p eine primitive Einheitswurzel des Grades 21 bedeutet, 

 die durch die Substitutionen 



lp \ /0 \\ 



.4 = ( /s* j , 5 = I 1 



\0 p"7 \0 p 1 Ol 



erzeugte Gruppe © der Ordnung 63. Es läßt sich leicht zeigen, daß 

 © dann und nur dann in dem durch die Zahl p + p 4 -f- p 16 bestimmten 

 Zahlkörper rational darstellbar ist, wenn sich eine ganze rationale Funk- 

 tion /(p) mit rationalen Koeffizienten bestimmen läßt, die der Gleichung 



p 7 =/(p) ./V) ,/V G ) 



genügt. 



§ 4- 

 Von besonderem Interesse ist noch der spezielle Fall, daß der 

 unserer Betrachtung zugrunde liegende Körper P mit dem durch eine 

 primitive h ie Einheitswurzel p bestimmten Körper Q,(p) übereinstimmt. 

 Es sei %(Ä) ein einfacher Charakter des Grades/ von £), dessen 

 Index in bezug auf den Körper Sl(p) gleich m ist. Dann ist die zu 

 %{R) gehörende irreduzible Gruppenmatrix 



Z = % AjiXn 



R 



des Grades / in einem algebraischen Körper P(^) des Grades?« über 

 P = il(p) rational darstellbar. 



Ist nun <3 eine Untergruppe der Ordnung s von i3, welche die 

 Eigenschaft besitzt, daß jede zu © isomorphe Gruppe linearer Sub- 

 stitutionen im Körper der s tcn Einheitswurzeln und also auch im Körper 

 Sl(p) rational darstellbar ist, und enthält der Charakter %(R) den ein- 

 fachen Charakter \t(<S) von © genau rmal, so muß nach Satz IX a 

 die Zahl r durch m teilbar sein. Der hier betrachtete Fall tritt jedenfalls 

 ein. wenn © die durch ein Element P der Ordnung s erzeugte zyklische 

 Gruppe ist. Ist er eine r fache Wurzel der Gleichung \xE— A P | = , so 

 1 lüden die Zahlen 



1 , U , C 2 , ■ • • , £T S-1 



einen Charakter \J/(<S) von ©> der in dem Charakter %(iü) von .<ö genau 

 rmal enthalten ist. Daher muß die Zahl r durch m teilbar sein. 

 Diesem Resultat läßt sich folgende Fassung geben: 



XII. Es sei © eine (im Bereiche aller Zahlen) irreduzible Gruppe 

 linearer Substitutionen der Ordnung h und es sei P = fl(p) der Körper 

 der li'"' Einheitswurzeln. Läßt sich © in einem algebraischen Körper P((i/) 

 des (Inides m über P. aber in keinem Körper niedrigeren Grades über P 

 rational darstellen, so muß die charakteristische Determinante jeder Sub- 

 stitution von © die m" Potenz einer ganzen rationalen Funktion sein. 



