180 Gesammtsitzung vom 1. Februar 1906. — Mittheilung vom 11. Januar. 



Läßt sich daher keine Zahl m'>\ angeben, so daß für alle Sub- 

 stitutionen R von © . die Funktionen | xE-R | sämtlich m' te Potenzen 

 werden, so muß m = 1 sein; die Gruppe © läßt sich dann also im 

 Körper il(p) rational darstellen. Dies ist das in der Einleitung er- 

 wähnte Resultat des Hrn. Burnside. 



Es verdient noch hervorgehoben zu werden, daß aus dem Vor- 

 handensein einer solchen Zahl m'~>\ nicht etwa, wie vermutet werden 

 könnte 1 , die Reduzibilität der Gruppe © folgt. Man betrachte z. B. 

 die durch die Substitutionen 



B = 



c = r r r , d 



erzeugte Gruppe der Ordnung 32. Unter den charakteristischen Deter- 

 minanten der Substitutionen dieser Gruppen kommen nur die Funk- 

 tionen 



(x-i) 4 , {x + iy, (x 2 -i) 2 , (* 2 +i) 2 



vor, so daß hier m' — 2 gesetzt werden kann. Die Gruppe ist aber 

 dennoch irreduzibel. 



Von Interesse ist noch folgender Satz: 



XIII. Der Index m eines Charakters %(R) des Grades f in bezug auf 



den Körper £l(p) ist ein gemeinsamer Divisor der Zahlen/ und -r . 2 



In der Tat ist offenbar %(Ä) = m<p(R), wo <p(R) eine Summe von 

 f 



— Einheitswurzeln ist. Nun besteht (vgl. B., S. 425) für jedes Ele- 

 ment S von § die Relation 



v x (,s'Ä-')x(/?)=4x(<S)- 



Daher ist 



2<p(Si?-) (p (i?) = A 9 ( ) S). 

 s jm 



Setzt man nun e x gleich 1 , falls R gleich E ist , und s s = , falls 

 i2 von E verschieden ist, so kann man diese Gleichung auch in der 

 Gestalt 



|9(Ä)jq.(fiR-)-j^*-.j=0 



1 Vgl. difi in der Einleitung zitierte Arbeit des Hrn. Burnside (S. 252). 



2 Ist also m durch die <<'' Potenz einer Primzahl ^7 teilbar, so muß h durch p*" 

 teilbar sein. Man kann noch zeigen, daß h durch ju 2 «+> teilbar sein muß. 



