I.Schur: Arithmetische Untersuchungen über endliche Gruppen. 181 



schreiben. Da die Zahlen <p(R) nicht, sämtlich sind, so muß die 

 Determinante h U:n Grades 



cp (ÄS" 1 )- y -e xs -< 

 jm 



gleich sein. Da nun die Zahlen <p{R) ganze algebraische Zahlen 



sind, so ergibt sich, daß die Zahl rF - einer Gleichung der Form 



jm ° 



a^ + e^- 1 + ••• +c h = 

 mit ganzen algebraischen Koeffizienten genügt. Folglich ist die Zahl 

 . eine ganze algebraische und also eine ganze rationale Zahl. 



Zu erwähnen ist noch, daß die Zahl m kleiner als / sein muß, 

 sobald /> 1 ist. Denn wäre m = /, so müßte jede der Substitutionen 

 A P nur eine charakteristische Wurzel er besitzen, daher wäre A P = <rE. 

 Ist nun / > 1 , so wäre die Gruppenmatrix Z reduzibel. 



Es gilt ferner der Satz: 



XIV. Jede auflösbare Gruppe © von linearen Substitutionen der Ord- 

 nung h ist im Körper der h' m Einheitswurzeln rational darstellbar. 



Dieser Satz ist eine unmittelbare Folge eines anderen Satzes: 



XV. Ist © eine irreduzible Gruppe von linearen Substitutionen der 



Ordnung h und ist © eine invariante Untergruppe der Ordnung von ©, 



wo n eitle Primzahl ist, so ist die Gruppe <B> entweder im Bereiche aller 

 Zahlen irreduzibel, oder sie zerfällt in n verschiedene (nicht äquivalente) 

 irreduzible Bestandteile desselben Grades. 



Es mögen nämlich zunächst die irreduziblen Bestandteile von ©, 

 deren Anzahl gleich q sei, einander äquivalent sein. Wir können 

 dann © durch eine äquivalente Gruppe ersetzen, in der jede Substi- 

 tution S von <S die Gestalt 



S l ••■ 

 S, ••• 



8: 



o o •■• Sx 



annimmt, wo die Substitutionen S, eine der Gruppe © isomorphe 

 irreduzible Gruppe €>! bilden. Ist / der Grad der Matrix S, so ist 



hierbei die Matrix ©, vom Grade ' . Es sei nun 



® = © + <3P+ SP 2 + • • • + ©P"- 1 . 

 Dann ist für irgend eine Substitution S von <B die Substitution 



s; ••• 



o o •• • «; 



Sitzungsberichte 1906. 17 



