I.Schur: Arithmetische Untersuchungen über endliche Gruppen. 183 



spricht. Ferner zerfällt offenbar auch &„ in einander äquivalente irre- 

 duzible Bestandteile , und von den Gruppen ©', , ©^ , • • • ©i enthalten 

 wieder je zwei keinen irreduziblen Bestandteil gemeinsam. Ist f a der 

 Grad der Matrix S a , so werde P in der Form 



/ Pn- ■ • Pu 

 P =l 



\ Pn ■■■ l J „ 



geschrieben, wo P aB) eine Matrix mit /„ Zeilen und / 3 Spalten ist. 

 Es wird dann wegen »SP = PS' 



S a P„g, = P aä Sß. 



Enthalten nun die Gruppen ©« und ©g keinen irreduziblen Bestandteil 

 gemeinsam, so muß, wie man leicht schließt, P a3 = sein. Ferner 

 kann für jedes ot nur ein ß = a! und für ein /6 nur ein et = ß" vor- 

 handen sein, so daß P a s=)=0 wird. Aus dem Nichtverschwinden der 

 Determinante von P folgt dann, daß P„„. eine quadratische Matrix 

 von nicht verschwindender Determinante sein muß, so daß ©„ und 

 ©^. äquivalente Gruppen werden. Der Substitution P entspricht nun 

 eine Permutation Q zwischen t Ziffern 1,2, ••• t, die die Ziffer a in 

 die Ziffer a! überführt. Man sieht auch sofort ein, daß Q ein Zyklus 

 der Ordnung t sein muß, da andernfalls die Gruppe © zerfallen würde. 

 Es ist daher P' die erste Potenz von P, die in © enthalten ist; folg- 

 lich muß t = n sein. Man kann auch ohne Beschränkung der All- 

 gemeinheit annehmen, daß 



@ a = ©i , 6 3 = ®, , ■ • • ©, = ©„'_, , ©, = ©,' 



ist. — Daß nun die Gruppe ©, und folglich auch die Gruppen © 2 , 

 © 3 , ••• ©„ irreduzibel sein müssen, kann man folgendermaßen schließen. 

 Man bezeichne die Spur der Substitution R von © mit %{R), 

 ferner die Spur der Substitution S a mit 4< a (S). Dann wird für jedes 

 Element S von © 



Ferner ist 



2vMS- l )»MS) = 0, < a *P) 



s 



wo die Summation über alle Elemente der Gruppe © zu erstrecken ist. 

 Daher ist 



2x(S-')x(S) = 2j«MS-')>M<S)+ •■• +MS- , )*n(S)\. 



S 8 



Die links stehende Summe ist aber offenbar gleich 



