184 Gesammtsitzung vom 1. Februar 190IJ. — Mittheilung vom 11. Januar. 

 Zerfällt nun <B l in r irreduzible Bestandteile, so wird 



2th(5->)t|/,(S) = r 2 - , 



s " 



also 



Sx(S~ l )x(S) = ^A. 



Da nun wegen der Irreduzibilität von © 



2 x (ä- 1 )x(ä) = ä 



ä 

 ist, wo .ß alle Elemente von © durchläuft, so muß r % h<h, also 

 r = 1 sein. 



Aus dem eben bewiesenen Satz XV ergibt sich nun unser Satz XIV 

 folgendermaßen. 



Es genügt offenbar anzunehmen, daß © irreduzibel ist. Es sei 

 nun © eine auflösbare Gruppe möglichst kleiner Ordnung h, die sich 

 nicht im Körper il(p) der h*** 1 Einheitswurzeln rational darstellen läßt. 

 Dann ist der Index m der Gruppe © in bezug auf den Körper Sl(p) 

 größer als 1. Wählt man dann in © eine invariante Untergruppe © 



der Ordnung — , wo n eine Primzahl ist, so ist © eine auflösbare 



° n 



Gruppe, deren Ordnung kleiner als h ist. Daher würde sich jede zu 

 © isomorphe Gruppe linearer Substitutionen im Körper Sl(p) rational 

 darstellen lassen. Folglich müßte die Gruppe © jeden ihrer irreduziblen 

 Bestandteile mindestens ?«mal enthalten. Nach Satz XV muß aber <3 

 jeden irreduziblen Bestandteil nur einmal enthalten. Die Annahme 

 m>\ führt daher auf einen Widerspruch. 



Aus dem Vorhergehenden ergibt sich der für die Anwendungen 

 wichtige Satz: 



XVI. Es sei © eine irreduzible Gruppe linearer Substitutionen der 

 Ordnung h, und es sei <S eine Untergruppe von ©, die auflösbar istj und 

 die einen ihrer irreduziblen Bestandteile, genau rmal enthält. Sind dann 

 die den verschiedenen Untergruppen © und den verschiedenen irreduziblen 

 Bestandteilen von © entsprechenden Zahlen r ohne gemeinsamen Teiler, so 

 ist © im Körper der h tm Einheitswurzeln rational darstellbar. 



Es sei noch erwähnt, daß bis jetzt überhaupt keine Gruppe © 

 linearer Substitutionen der Ordnung h bekannt ist, die sich nicht im 

 Körper der /i ten Einheitswurzeln rational darstellen läßt. 



Ausgegeben am 8. Februar. 



Berlin, n^rnokt in .lr 



