186 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe v. 8. Februar 1900. 



Über die reellen Darstellungen der endlichen 

 Gruppen. 



Von G. Frobenius und I. Schur. 



Um eine endliche oder unendliche Gruppe von reellen linearen Sub- 

 stitutionen in ihre irreduzibeln Bestandteile zu zerlegen, kann man 

 sie zunächst in lauter reelle Teile spalten, die im Gebiete der reellen 

 Größen irreduzibel sind. Diese sind nach den Untersuchungen des 

 Hrn. A. Loewy (Über die Reduzibilität der reellen Gruppen linearer homogener 

 Substitutionen, Transactions of the American Math. Soc. Bd. 4) entweder 

 auch im Bereiche der komplexen Größen irreduzibel, oder sie zerfallen 

 in zwei konjugiert komplexe irreduzible Bestandteile. Die beiden Teile 

 können einander äquivalent sein oder nicht, keiner von ihnen ist 

 aber einer reellen Gruppe äquivalent. Entsprechend lassen sich die 

 (absolut) irreduzibeln Darstellungen einer beliebigen Gruppe in drei 

 Arten teilen: 1. solche, die einer reellen Darstellung äquivalent sind, 

 2. solche, die der konjugiert komplexen, aber keiner reellen Darstellung 

 äquivalent sind, 3. solche, die der konjugiert komplexen Gruppe nicht 

 äquivalent sind (Arithmetische Untersuchungen über endliche Gruppen linearer 

 Substitutionen § 2, Sitzungsberichte 1906). Beschränken wir uns auf 

 vollständig zerlegbare Gruppen , so ist demnach eine solche stets und 

 nur dann einer reellen Gruppe äquivalent, wenn jeder irreduzible Be- 

 standteil zweiter Art in gerader Anzahl, und jeder der dritten Art 

 ebenso oft wie der konjugiert komplexe auftritt. 



Eine irreduzible Darstellung einer endlichen Gruppe § ist durch 

 ihren Charakter % vollständig definiert. Die Kenntnis von % reicht 

 aber, wie wir zeigen werden, auch aus, um die Art der entsprechenden 

 Darstellung zu bestimmen. Setzt man nämlich c= +1, -1 oder 0, 

 je nachdem die Darstellung zu der ersten, zweiten oder dritten Art 

 gehört . so ist 



K 



wo sich dir Summe über die h Elemente I! der Gruppe \S erstreckt. 

 Oder in anderer Fassung: Die Je Konstanten c x , die den Ä Charakteren 

 %^ entsprechen, sind dadurch bestimmt, daß 



