Frobenius u. I. .Schur: Die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen. 187 



2c, x W(ä) = ?(ä) 



die Anzalil der Lösungen S der Gleichung S~ = R in £> ist. 



Die endlichen Gruppen gehören zu der allgemeineren Klasse von 

 Gruppen linearer Substitutionen, die eine positive HERMiTEsche Form F 

 in sich transformieren; wir wollen sie HERMiTEsche Gruppen nennen. 

 Wenn es eine bilineare Form G gibt, die von den Substitutionen 

 einer irreduzibeln Gruppe (kogredient) in sich transformiert wird, so 

 ist G bis auf einen konstanten Faktor völlig bestimmt. Für eine 

 Gruppe der dritten Art kann es eine solche Form nicht geben. Für 

 eine HERMiTEsche Gruppe der ersten oder zweiten Art aber gibt es stets 

 eine solche Form, und zwar ist sie für die Gruppen der ersten Art 

 symmetrisch, für die der zweiten alternierend. Unter Benutzung der 

 oben definierten Konstanten c ist also allgemein die zu G konjugierte 

 Form G' = eG. Ganz allgemein aber gilt auch für reduzible Gruppen 

 der bemerkenswerte Satz: 



Wenn die Substitutionen einer HERMiTESchen Gruppe eine quadratische 

 Form von nicht verschwindender Determinante in sich transformieren, so 

 ist die Gruppe einer reellen (orthogonalen) äquivalent. 



Umgekehrt transformieren die Substitutionen einer reellen Hermite- 

 schen Gruppe stets eine positive quadratische Form in sich. Demnach 

 ist die Gruppe einer reellen, orthogonalen äquivalent. Speziell ergibt sich : 



Jede endliche Gruppe orthogonaler Substitutionen ist einer reellen 

 (orthogonalen) Gruppe äquivalent. 



Die HERMiTESchen Gruppen, deren Substitutionen eine alternierende 

 Form von nicht verschwindender Determinante in sich transformieren, 

 sind vollständig dadurch charakterisiert, daß sie jeden irreduzibeln 

 Bestandteil erster Art in gerader Anzahl enthalten und jeden der dritten 

 Art ebenso oft wie den konjugiert komplexen. 



In seinen interessanten Untersuchungen Sur les groupes lineaires } 

 reels et orthogonaux (Bulletin de la Soc. Math, de France Bd. 30) kommt 

 Hr. Autonne jenem Resultate sehr nahe. Daß aber eine Gruppe, die 

 außer der HERMiTESchen Invariante F noch eine quadratische Invariante 

 besitzt, einer reellen Gruppe äquivalent ist, gelingt ihm nur unter 

 Hinzunahme der folgenden Voraussetzung zu beweisen: Nachdem man 

 die Gruppe so umgeformt hat, daß F in die Hauptform E übergeht, 

 soll die quadratische Invariante G eine unitäre Form sein, d. h. der 

 Bedingung G'G = E genügen, wo G u die zu G konjugiert komplexe 

 Matrix ist. Diese für die Anwendung des Satzes lästige Voraussetzung 

 erweist sieh aber als überflüssig und läßt sich für den Fall, wo die 

 Darstellung irreduzibel ist, aus der Annahme der Existenz der beiden 

 Invarianten F und G ableiten. 



18* 



