188 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe v. 8. Februar 190(j. 



Wir beschränken uns im folgenden auf die Betrachtung end- 

 licher Gruppen. Aber die in den §§1,2 und 8 durchgeführten Unter- 

 suchungen, in denen die Gruppencharaktere nicht vorkommen, hissen 

 sich ohne weiteres auf unendliche HermitescIic Gruppen übertragen. 

 Jede reduzible Gruppe § dieser Art ist vollständig reduzibel, und es 

 gilt für sie der in § 3 benutzte und in § 8 verallgemeinerte Hilfssatz, 

 falls man darin die Gruppenmatrix X durch ein veränderliches Element R 

 von <ö ersetzt. 



§1. 

 Seien A,B, C, ■■■ h Matrizen / ten Grades, deren Determinanten 

 nicht verschwinden, und die eine Darstellung einer endlichen Gruppe 

 .vS bilden. Ist R irgend eine Matrix, so ist R'R = H die Matrix einer 

 HERMiTESchen Form ~Xh aS> x a x$ , worin h a $ und Ag konjugiert komplexe 

 Größen sind, also eine Matrix, die der Bedingung H' = H ge- 

 nügt: und wenn die Determinante von R nicht verschwindet, so ist 

 H = 5(2r^ a a; a )S(r^a4 0) ) eine positive Form, d. h., wenn x a und x^ 



konjugiert komplexe Größen sind, so ist der Wert von H positiv, 

 und kann nicht verschwinden, wenn nicht die Variabelu .r„ sämtlich 

 Null sind. Demnach ist, wenn die Variabein x a als reell angenommen 

 werden, die reelle quadratische Form 2%h a g t x a Xg ) eine positive. Ihre 

 Matrix ist H+ H' = H + H . Mithin ist auch, falls k eine positive 

 Konstante ist (vgl. A. Loewy, Comptes Rendus 1896, S. 168 und 

 Moore, Math. Ann. Bd. 50, S. 213), 



( 1 .) A'A + B'B + C Co + • • • = X R'Bo = kF 



eine positive ÜERMiTEsehe Form (d. h. die Matrix einer solchen). 

 Ferner ist 



kA'FA = 5 (BA)'{BA) = 5 B' R = kF, 



weil RA zugleich mit R die h Matrizen der Gruppe £ durchläuft. 



Daher transformiert jede der h Substitutionen R der Gruppe *5 die 

 Form F in sich selbst, 



(2.) B'FB, = F. 



In dem speziellen Falle, wo die Matrizen von i3 alle reell sind, ist 

 (3 .) kG = A'A + B'B + C'C + ■■■ =i« 



eine quadratische Form (symmetrische Matrix), die von den h Sub- 

 stitutionen von >3 in sich transformiert wird. Daß es eine solche 

 Form G gibt, folgt aber auch direkt aus der Existenz der Invariante F. 

 Denn ist R reell, so lautet die Gleichung (2.) R'FR = F. Mithin ist 

 auch, wenn man zu den konjugierten Matrizen übergeht, R'F'R = F', 

 und folglich, wenn man die positive quadratische Form F+ F' mit G 



