Frobenids ii. I.Schur: Die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen. 189 



bezeichnet, R' Glt = G. Diese positive Form G läßt sieh durch eine 

 reelle Substitution in eine Summe von /Quadraten, also in die Haupt- 

 form E transformieren. Dadurch geht die betrachtete Darstellung von 

 .V) in eine äquivalente Darstellung über, deren Substitutionen ortho- 

 gonale sind. Dieses Ergebnis läßt sich in der folgenden bemerkens- 

 werten Weise umkehren: 



Jede Darstellung einer endlichen Gruppe durch orthogonale Substi- 

 tutionen ist einer reellen Darstellung (durch orthogonale Substitutionen) 

 äquivalent. 



Für unseren nächsten Zweck genügt es, den Satz für den Fall 

 zu beweisen, wo die betrachtete Darstellung irreduzibel ist. Auf re- 

 duzible Darstellungen werden wir den Beweis in § 8 ausdehnen. 



Ist R eine orthogonale Substitution, so ist 



(4.) R'R = RR' = E , R' = R- 1 . 



Ist nun F die HermitescIic Form (1.), so ist 



(5.) F=R'FR , RF=FR , FR^ = R'F, 



mithin, wenn man die konjugierten Formen nimmt, 



B F' = F'R 

 und folglich 



B(FF') = (BF)F' = (FR )F' = F(B F') = F(F'B) = {FF')B. 



Eine Matrix FF' kann aber ( Über die Darstellung der endlichen Gruppen 

 durch lineare Substitutionen, §6, Sitzungsberichte 1897, S. 1008) mit 

 jeder Matrix R einer irreduzibeln Darstellung nur dann vertausch- 

 bar sein, wenn sie bis auf einen konstanten Faktor c der Hauptmatrix 

 gleich ist, FF' — cE (dies folgt auch aus dem in § 3 benutzten Hilfs- 

 satz). Da F' = F ü ist, so ist auch FF„ — cE, und folglich F'FF 

 = cF'. Mithin ist c eine reelle positive Konstante. Denn F' ist 

 eine positive HERMiTEsehe Form, und ebenso F'FF und allgemeiner, 

 wenn P eine Matrix nicht verschwindender Determinante ist, P'FP a . 

 Denn in diese Form geht F durch die Substitution P über. Ersetzt 

 man F durch VcF, so erhält man eine positive HERMiTEsehe Form, 

 die der Relation 



(6.) FF' = F'F= E , FF = F F = E 



genügt, also zugleich eine orthogonale Form ist. Da E und F zwei 

 positive HERMiTEsehe Formen sind, so ist auch E + F eine solche, hat 

 also eine von Null verschiedene Determinante. Transformiert man nun 

 jede der //Matrizen R von <ö durch die Substitution E + F, so bilden 

 die h Matrizen 



(7.) {E + F)-'B(E+F) = S 



