11)0 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe v. 8. Februar 1906. 

 eine der gegebenen äquivalente Darstellung von >3- ^un ist nach (6.) 



V- E+F 



Setzt man diesen Ausdruck für F in die Formel (5.) 



F-' BF = B 

 ein, so erhält man 



(E + Fy> B (E +F) = (E + F )'' B (E + F„) , 

 und demnach ist jede der h transformierten Matrizen <S = S reell. 

 Für eine irreduzible reelle Darstellung einer Gruppe muß die 

 IlERMiTESche Invariante mit der quadratischen übereinstimmen (weil 

 nicht mehr als eine Form F den h Bedingungen R 'FR = F genügen 

 kann). Im vorliegenden Falle ist dies leicht durch die Rechnung zu 

 bestätigen. Denn die quadratische Form E geht durch die Substitution 

 E+F in (E+ F')E(E + F) über und die ÜERMiTESche Form F in 



(E + F')F(E + F ) = {E + F')(F+E). 

 Die Matrix 



G = (E + F') (E + F) = (E + F ) {E + F) 



ist symmetrisch und wegen der Vertauschbarkeit von F und F reell, 

 und da G als ÜEEMiTEsche Form mit F äquivalent ist, so ist G eine 

 positive quadratische Form. Diese kann man durch eine reelle Sub- 

 stitution in die Hauptform E überführen , und so erhält man eine der 

 gegebenen äquivalente Darstellung der Gruppe JÖ durch reelle ortho- 

 gonale Substitutionen. 



§2- 



Die Methode des Hrn. Autonne unterscheidet sich von dem eben 

 benutzten Beweisverfahren in folgenden Punkten: Während wir die 

 quadratische Invariante G in die Hauptform transformiert haben, denkt 

 er sich von vornherein die HERMiTEsche Invariante F in E übergeführt. 

 Dann ist 



(1.) R'R = B a R' = E 



und 



(2.) B'GB= G. 



Daraus folgt 



und mithin 



(G„G)B = G a R ü G— R(G a G). 



Ist also die Darstellung irreduzibel, so muß G G = cE sein. Da E 

 und G G = G G' positive HERMiTEsche Formen sind, so ist c reell und 

 positiv, und wenn man G durch VcG ersetzt, so ist 



GR = B G , G A'o = RG 



