Fkobenids ii. I.Schur: Die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen. 11)1 



(3-) G G = GG = E , G = ff-. 



Diese Gleichung, deren Bestehen in dem Beweise des Hrn. Autonne 

 vorausgesetzt wird, ist so zunächst als eine Folge der hier ge- 

 machten Annahmen erwiesen. Wenn nun die Determinante von E + G 

 von Null verschieden ist, so ist 



E+G 



°"~ E+G ' 



und wenn man dies in GRG' 1 = R einsetzt, erhält man 



{E+G) R(E+G)-' = (E+ G )R (E + ff„)-. 



Dies besonders einfache Verfahren des obigen Beweises ist nun aber 

 hier nicht allgemein zulässig, und man ist genötigt, einen komplizier- 

 teren Weg einzuschlagen, um G auf die Form 



*.(G.) 



zu bringen, wo *(r) eine ganze Funktion der Variabein r ist, und 

 *<,(>") aus 4>(r) hervorgeht, indem man jeden Koeffizienten durch die 

 konjugiert komplexe Größe ersetzt. 



Da die Determinante von G von Null verschieden ist, so gibt es 

 eine ^anze Funktion $((?) = -ff, die der Bedingung ff 2 = G genügt. 

 (Über die cogredlenlen Transformationen der bilinearen Formen, Sitzungs- 

 berichte 1896, S. 10.) Als Funktion von G ist H = ff' ebenfalls sym- 

 metrisch, und da ff = $ (G ) = <£ (Gr -1 ) auch eine Funktion von G 

 ist, so ist ff mit ff vertauschbar. Daher ist 



(HH o y = irm = GGo = E. 



Da -ffff = H'H eine positive ÜERMiTESche Form ist, so ist auch 

 HH + E eine solche, hat also eine von Null verschiedene Determi- 

 nante, und mithin folgt aus der Gleichung (ff ff + E) (HH -E) = 

 die Relation 



HH = E. 

 Aus 



GRG~ l = R , H'RH-- = R 



ergibt sich demnach, daß 



HRH- 1 = H R Ho l = S 



eine reelle Substitution ist. 



Die quadratische Invariante G und die ÜERMiTESche Form E gehen 

 durch die Substitution H~ l in 



//'-' GH~' = E , H" X EH- X = E 



über. Demnach sind die transformierten Substitutionen S orthogonale. 



