11)2 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe v. 8. Februar 1906. 



Wendet man dieselbe Methode auf eine irreduzible Darstellung 

 der zweiten Art an, so gelangt man zu einem zwar weniger einfachen, 

 aber doch der Erwähnung werten Ergebnis. In der Gleichung (2.) 

 ist dann, wie wir in § 3 zeigen werden, G = —G' eine alternierende 

 Matrix, deren Grad, da ihre Determinante nicht verschwindet, eine 

 gerade Zahl/= 2n sein muß. Durch Verbindung mit der Gleichung (1.) 

 erhält man bei passender Wahl des konstanten Faktors von G 

 (4.) G'G = E , GG = -E, 



und wenn wie oben H~ = G ist, so sind je zwei der Matrizen H, H' 

 und H als Funktionen von G vertauschbar, und es ist 



H'Ho = E 



(alter nicht H' — H). Durch die Substitution H~ l geht die alter- 

 nierende Form G und die HERMiTEsche Form E in 

 H'-' GH~ l = L , H'-'EHö' = E 



über. Da G = H 2 ist, so ist die alternierende Form 



L = //'-' H=H H= HH ; 

 sie ist also reell, und genügt der Gleichung 



L 2 = WHl = GG = -E. 



Von den Elementarteilern ihrer charakteristischen Determinante 

 |s.E''-i| sind daher n gleich s-i und n gleich s + i. Sei 



(5-) J 



\E 0,|' 



wo E in der Klammer die Hauptmatrix des Grades n bezeichnet. 

 Dann ist auch J eine reelle alternierende Form, die der Gleichung 

 J~ = -E genügt. Mithin kann L durch eine reelle orthogonale 

 Substitution in J transformiert werden. (Über die cogredienten Trans- 

 formalionen der bilinearen Formen § 3, Sitzungsberichte 1896, S. 15.) 

 Eine solche Substitution läßt aber die HERMiTEsche Form E umgeän- 

 dert. So erhält man für die Darstellungen der zweiten Art eine 

 Normalform, für welche die HEEMiTESche Form gleich E und die 

 alternierende Invariante gleich J ist. Ist 



-GS) 



eine Substitution von £, so folgt aus JE = I'„J. daß C = - B und 

 D = -A u ist, also R die Form 



-Ui) 



hat. Zwischen A und B bestehen dann Beziehungen, die sich aus 

 den Gleichungen 



