Fbobeniüs u. I.Schur: Die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen. 193 



liji' = R'R — E 

 ergeben. 



Anmerkung. Die Methode des Herrn Aütonne läßt sich auch auf 

 die in § i gemachten Voraussetzungen anwenden. Sei H = 3>(F) 

 eine ganze Funktion von F, die der Gleichung TP = F genügt. 

 Da die charakteristischen Wurzeln a,b,c, ... von F alle reell und 

 positiv sind, so sind die Koeffizienten von *(r) alle reell. Mithin 

 ist H' = H a eine HermitkscIic Form. Bei der Bestimmung von $(r) 

 können die Vorzeichen von ya, ]/b, ]/c . . . beliebig angenommen werden. 

 Wählt man sie alle positiv, so wird H eine positive Form. Dann 

 sind auch H' und H' H H positive Formen, und folglich ist die 

 Determinante von H' + II' II H = H' (E + H H„) , also auch die von 

 E+HH von Null verschieden. Daraus ergibt sich wie oben die 

 I rleichung 



JIH = E. 



Durch die Substitution II geht F in 



H'FHo = E 



über, und mithin sind die transformierten Substitutionen 



IF'ItH= Hö'R H , 



die reell sind, zugleich orthogonal. 



Wenn die Darstellung der Gruppe <5 durch die Matrizen A, B,C, ■■■ , 

 R, ■■■ reell ist oder einer reellen äquivalent ist, so ist auch der ihr 

 entsprechende Charakter r /j(R) reell. Denn 



(i.) X (Ä) = 3^ 



ist die Summe der Diagonalelemente der Matrix R und hat für äqui- 

 valente Matrizen P~ l RP denselben Wert. 



Wenn umgekehrt der Charakter %{R) einer Darstellung reell ist 

 (d. h. wenn die h Werte von %(R) sämtlich reell sind), so braucht 

 darum keine der ihm entsprechenden Darstellungen reell zu sein. Wenn 

 der Charakter %(R) imaginär ist (d. h. wenn die h Werte von %(R) 

 nicht alle reell sind), so kann nach (i.) keine der ihm entsprechenden 

 (unter sich äquivalenten) Darstellungen reell sein. Demnach sind hier 

 drei Fälle zu unterscheiden: 



I. Eine dem Charakter %(R) entsprechende Darstellung ist reell. 



II. Der Charakter %{R) ist zwar reell, ihm entspricht aber keine 

 reelle Darstellung. 



III. %(R) ist imaginär. 



